Ecuaciones y sistemas

Examen resueltos 4º de ESO

Hoy te he preparado una oportunidad invaluable para fortalecer tu comprensión de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones pensado para un nivel de 4º de ESO. En este artículo, nos adentraremos en la resolución de un examen completo, diseñado para consolidar tus habilidades en este crucial aspecto del currículo.

Practicar estos ejercicios te proporcionará las herramientas necesarias para que te sientas seguro y competente al enfrentarse a desafíos como un control en tu colegio. Por lo tanto, te invito a que realices este examen resuelto y aproveches al máximo esta oportunidad de aprendizaje.

Con determinación y dedicación, estoy seguro de que alcanzarás un buen dominio de las ecuaciones y sistemas, fortaleciendo así tu base matemática y preparándose para cursos futuros.

¡Ánimo con tus estudios!

Ecuación racional

\[
\frac{x+1}{x+2} + \frac{x^2 + x – 8}{x^2 – 4} + \frac{x-1}{x-2} = 3
\]

Solución ecuación racional

\[
\frac{x+1}{x+2} + \frac{x^2 + x – 8}{x^2 – 4} + \frac{x-1}{x-2} = 3
\]

primero simplificamos los términos y buscamos un común denominador para poder combinar las fracciones.

Paso 1: Quitamos denominadores

Primero, notamos que \(x^2 – 4\) puede factorizarse como \((x – 2)(x + 2)\).

Así que reescribimos:

\[
\frac{x+1}{x+2} + \frac{x^2 + x – 8}{(x – 2)(x + 2)} + \frac{x-1}{x-2} = 3
\]

Paso 2: Factorizar el numerador de la segunda fracción

El numerador \(x^2 + x – 8\) se puede factorizar como \((x + 4)(x – 2)\), entonces:

\[
\frac{x+1}{x+2} + \frac{(x + 4)(x – 2)}{(x – 2)(x + 2)} + \frac{x-1}{x-2} = 3
\]

Simplificamos la segunda fracción:

\[
\frac{x+1}{x+2} + \frac{x+4}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 3
\]

Paso 3: Combinar las primeras dos fracciones

Podemos combinar las primeras dos fracciones que tienen el mismo denominador \(x+2\):

\[
\frac{(x+1) + (x+4)}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 3
\]

Simplificamos el numerador:

\[
\frac{2x + 5}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 3
\]

Paso 4: Buscar un común denominador

El común denominador de las dos fracciones es \((x+2)(x-2)\):

\[
\frac{(2x+5)(x-2) + (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 3
\]

Paso 5: Expandir y simplificar el numerador

Expandimos y simplificamos el numerador:

\[
(2x+5)(x-2) = 2x^2 – 4x + 5x – 10 = 2x^2 + x – 10
\]

\[
(x-1)(x+2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2
\]

Sumamos los dos resultados:

\[
2x^2 + x – 10 + x^2 + x – 2 = 3x^2 + 2x – 12
\]

Así que tenemos:

\[
\frac{3x^2 + 2x – 12}{(x+2)(x-2)} = 3
\]

Paso 6: Resolver la ecuación

Multiplicamos ambos lados por \((x+2)(x-2)\) para eliminar el denominador:

\[
3x^2 + 2x – 12 = 3(x^2 – 4)
\]

Expandimos y simplificamos:

\[
3x^2 + 2x – 12 = 3x^2 – 12
\]

Restamos \(3x^2\) de ambos lados:

\[
2x – 12 = -12
\]

Sumamos 12 a ambos lados:

\[
2x = 0
\]

Dividimos por 2:

\[
x = 0
\]

Paso 7: Verificar la solución

Sustituimos \(x = 0\) en la ecuación original para verificar:

\[
\frac{0+1}{0+2} + \frac{0^2 + 0 – 8}{0^2 – 4} + \frac{0-1}{0-2} = 3
\]

Simplificamos cada término:

\[
\frac{1}{2} + \frac{-8}{-4} + \frac{-1}{-2} = 3
\]

\[
\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2} = 3
\]

\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 = 3
\]

\[
1 + 2 = 3
\]

La solución es correcta. Por lo tanto, la solución a la ecuación es:

\[
x = 0
\]

Ecuación irracional con 2 raíces

\[
\sqrt{3x + 14} – 2 = \sqrt{3x + 2}
\]

Solución ecuación irracional con dos raíces

Para resolver la ecuación

\[
\sqrt{3x + 14} – 2 = \sqrt{3x + 2}
\]

vamos a despejar \(x\) siguiendo estos pasos:

Paso 1: Aislar una de las raíces cuadradas

Primero, sumamos 2 a ambos lados para aislar una de las raíces cuadradas:

\[
\sqrt{3x + 14} = \sqrt{3x + 2} + 2
\]

Paso 2: Elevar ambos lados al cuadrado

Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar las raíces cuadradas:

\[
(\sqrt{3x + 14})^2 = (\sqrt{3x + 2} + 2)^2
\]

Esto nos da:

\[
3x + 14 = (\sqrt{3x + 2})^2 + 2 \cdot \sqrt{3x + 2} \cdot 2 + 2^2
\]

Simplificamos el lado derecho:

\[
3x + 14 = 3x + 2 + 4\sqrt{3x + 2} + 4
\]

Lo que resulta en:

\[
3x + 14 = 3x + 6 + 4\sqrt{3x + 2}
\]

Paso 3: Simplificar la ecuación

Restamos \(3x + 6\) de ambos lados para aislar el término con la raíz cuadrada:

\[
14 – 6 = 4\sqrt{3x + 2}
\]

\[
8 = 4\sqrt{3x + 2}
\]

Dividimos ambos lados por 4:

\[
2 = \sqrt{3x + 2}
\]

Paso 4: Elevar ambos lados al cuadrado nuevamente

Elevamos ambos lados al cuadrado otra vez para eliminar la raíz cuadrada:

\[
2^2 = (\sqrt{3x + 2})^2
\]

\[
4 = 3x + 2
\]

Paso 5: Resolver para \(x\)

Restamos 2 de ambos lados:

\[
4 – 2 = 3x
\]

\[
2 = 3x
\]

Dividimos por 3:

\[
x = \frac{2}{3}
\]

Paso 6: Verificar la solución

Es importante verificar la solución en la ecuación original para asegurarse de que no haya errores debido a la elevación al cuadrado. Sustituimos \(x = \frac{2}{3}\) en la ecuación original:

\[
\sqrt{3\left(\frac{2}{3}\right) + 14} – 2 = \sqrt{3\left(\frac{2}{3}\right) + 2}
\]

Simplificamos ambos lados:

\[
\sqrt{2 + 14} – 2 = \sqrt{2 + 2}
\]

\[
\sqrt{16} – 2 = \sqrt{4}
\]

\[
4 – 2 = 2
\]

\[
2 = 2
\]

La solución es correcta. Por lo tanto, la solución a la ecuación es:

\[
x = \frac{2}{3}
\]

 

3) Ecuación logarítmica

\[
2\log(x) – \log(8) = \log\left(\frac{x}{2}\right),
\]

Solución ecuación logarítmica

Para resolver la ecuación

\[
2\log(x) – \log(8) = \log\left(\frac{x}{2}\right),
\]

podemos usar las propiedades de los logaritmos para simplificar y resolver para \(x\).

Paso 1: Usar la propiedad del producto de los logaritmos

La primera propiedad de los logaritmos que usaremos es que \(a \log(b) = \log(b^a)\). Aplicamos esto a \(2 \log(x)\):

\[
2 \log(x) = \log(x^2)
\]

Entonces, la ecuación se convierte en:

\[
\log(x^2) – \log(8) = \log\left(\frac{x}{2}\right)
\]

Paso 2: Usar la propiedad de la resta de logaritmos

La siguiente propiedad de los logaritmos que usaremos es que \(\log(a) – \log(b) = \log\left(\frac{a}{b}\right)\):

\[
\log\left(\frac{x^2}{8}\right) = \log\left(\frac{x}{2}\right)
\]

Paso 3: Igualar los argumentos de los logaritmos

Si \(\log(A) = \log(B)\), entonces \(A = B\). Por lo tanto, igualamos los argumentos:

\[
\frac{x^2}{8} = \frac{x}{2}
\]

Paso 4: Resolver la ecuación

Multiplicamos ambos lados por 8 para deshacernos del denominador:

\[
x^2 = 4x
\]

Restamos \(4x\) de ambos lados para poner la ecuación en la forma estándar de una ecuación cuadrática:

\[
x^2 – 4x = 0
\]

Factorizamos:

\[
x(x – 4) = 0
\]

Esto nos da dos soluciones posibles:

\[
x = 0 \quad \text{o} \quad x = 4
\]

Paso 5: Verificar las soluciones

Debemos verificar que estas soluciones no causen problemas en los logaritmos originales (como tomar el logaritmo de un número no positivo).

Para \(x = 0\):

\[
2\log(0) – \log(8) = \log\left(\frac{0}{2}\right)
\]

El logaritmo de 0 no está definido, por lo que \(x = 0\) no es una solución válida.

Para \(x = 4\):

\[
2\log(4) – \log(8) = \log\left(\frac{4}{2}\right)
\]

Simplificamos:

\[
2\log(4) – \log(8) = \log(2)
\]

Sabemos que \(\log(4) = \log(2^2) = 2\log(2)\), así que:

\[
2(2\log(2)) – \log(8) = \log(2)
\]

\[
4\log(2) – \log(2^3) = \log(2)
\]

\[
4\log(2) – 3\log(2) = \log(2)
\]

\[
\log(2) = \log(2)
\]

La solución es válida. Por lo tanto, la solución a la ecuación es:

\[
x = 4
\]

 

4) Ecuación exponencial

\(3^x – 3^{x-1} – 3^{x-2}=5\)

Solución ecuación exponencial

Resolución de la ecuación \(3^x – 3^{x-1} – 3^{x-2}=5\) mediante cambio de variable.

Para resolver la ecuación \(3^x – 3^{x-1} – 3^{x-2} = 5\), primero simplifiquemos los términos con exponentes. Observa que \(3^{x-1}\) es igual a \(\frac{3^x}{3}\) y \(3^{x-2}\) es igual a \(\frac{3^x}{9}\). Así que podemos reescribir la ecuación como:

\[ 3^x – \frac{3^x}{3} – \frac{3^x}{9} = 5 \]

Para combinar los términos con exponentes, encontraremos un denominador común. El denominador común es 9, así que multiplicamos por 9 la ecuación completa:

\[ 9\cdot3^x – \frac{9\cdot 3^x}{3} – \frac{9\cdot 3^x}{9} = 9\cdot5 \]

Y simplificamos las fracciones

\[ 9\cdot \cdot 3^x – 3 \cdot 3^x – 3^x = 45 \]

Paso 1: Cambio de variable \(t = 3^x\)

Para simplificar la ecuación, hagamos el cambio de variable \(t = 3^x\). Esto nos permite reescribir la ecuación en términos de \(t\).

\[3^x = t\]

Paso 2: Reescribir la ecuación en términos de \(t\)

Sustituimos \(t\) en la ecuación original:

\[ 9\cdot t – 3 \cdot t – t = 45 \]

Paso 3: Simplificar la ecuación

Podemos combinar términos semejantes:

\[5t  = 45\]

Paso 4: Despejar \(t\)

Dividimos entre 5:

\[\left(1 – \frac{5t}{5}\right)t = \frac{45}{5}\]

Paso 6: Resolver para \(x\)

\[3^x = t\]

Recordemos que \(t = 3^x\). Dado que \(t = 9\), podemos resolver para \(x\):

\[3^x = 9\]

Dado que \(9 = 3^2\), igualamos las bases:

\[3^x = 3^2\]

Como las bases son iguales, concluimos que \(x = 2\).

Por lo tanto, la solución de la ecuación \(3^x – 3^{x-1} – 3^{x-2}=5\) es \(x = 2\).

Paso 7: comprobar la solución

Evaluemos la ecuación con (x = 2):

[ 3^2 – 3^{2-1} – 3^{2-2} = 5 ]

Primero, simplifiquemos los términos con exponentes:

[ 3^2 – 3^1 – 3^0 = 5 ]

Calculamos los valores:

[ 9 – 3 – 1 = 5 ]

La igualdad se cumple, por lo que (x = 2) es una solución válida para la ecuación

5) Sistema de ecuaciones con 3 incógnitas

\[
\begin{cases}
x + y + z = 2 \\
2x – 2y – z = 2 \\
3x + 5y + 2z = 2
\end{cases}
\]

Solución sistema de ecuaciones con 3 incógnitas

\[
\begin{cases}
x + y + z = 2 \\
2x – 2y – z = 2 \\
3x + 5y + 2z = 2
\end{cases}
\]

Paso 1: Multiplicar la ecuación 1 y la ecuación 2 por 2

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 2:

\[
\begin{cases}
2(x + y + z) = 2(2) \\
2(2x – 2y – z) = 2(2) \\
3x + 5y + 2z = 2
\end{cases}
\]

Esto nos lleva a:

\[
\begin{cases}
2x + 2y + 2z = 4 \\
4x – 4y – 2z = 4 \\
3x + 5y + 2z = 2
\end{cases}
\]

Paso 2: Sumar las ecuaciones para obtener otro sistema

Sumamos la primera ecuación con la segunda y la segunda ecuación con la tercera:

Esto nos lleva a otro sistema que solo tiene las incógnitas \( x \) e \( y \):

\[
\begin{cases}
6x – 2y = 8 \\
7x + y = 6
\end{cases}
\]

Paso 3: Resolver el nuevo sistema por reducción

Reducimos el nuevo sistema por la incógnita \( y \). Multiplicamos la segunda ecuación por 2, de manera que los coeficientes de \( y \) se cancelen al sumarlas.

\[
\begin{cases}
6x – 2y = 8 \\
2(7x + y) = 2(6)
\end{cases}
\]

Esto nos lleva a:

\[
\begin{cases}
6x – 2y = 8 \\
14x + 2y = 12
\end{cases}
\]

Sumamos estas ecuaciones:

\[
20x = 20
\]

Despejamos \( x \):

\[ \frac{20x}{20} = \frac{20}{20} \]

\[ x = 1 \]

Paso 4: Sustituir \( x \) en una de las ecuaciones para encontrar \( y \)

Sustituimos \( x \) en la segunda ecuación del nuevo sistema:

\[ 7(1) + y = 6 \]

\[ 7 + y = 6 \]

\[ y = 6 – 7 \]

\[ y = -1 \]

Paso 5: Sustituir \( x \) e \( y \) en la primera ecuación para encontrar \( z \)

Sustituimos \( x \) e \( y \) en la primera ecuación original:

\[ 1 + (-1) + z = 2 \]

\[ 0 + z = 2  \]

\[ z = 2 \]

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es \( x = 1 \), \( y = -1 \) y \( z = 2 \) y escrita en forma de punto \((+1,-1, +2)\)

 

6) Sistema de ecuaciones exponenciales

\[
\begin{cases}
2^{x+3} – 3^{y-1} = 1 \\
2^{x+2} + 3^{y-2} = 3
\end{cases}
\]

Solución sistema de ecuaciones exponenciales

Dado el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{cases}
2^{x+3} – 3^{y-1} = 1 \\
2^{x+2} + 3^{y-2} = 3
\end{cases}
\]

Hacemos el cambio de variable \(2^x = t\) y \(3^y = u\), entonces las ecuaciones se convierten en:

\[
\begin{cases}
t \cdot 2^3 – \frac{1}{3} \cdot u = 1 \\
t \cdot 2^2 + \frac{1}{9} \cdot u = 3
\end{cases}
\]

Luego, multiplicamos la primera ecuación por \(3\) y la segunda ecuación por \(9\):

\[
\begin{cases}
3(t \cdot 2^3) – 3 \left(\frac{1}{3} \cdot u\right) = 3 \\
9(t \cdot 2^2) + 9 \left(\frac{1}{9} \cdot u\right) = 27
\end{cases}
\]

Esto nos da:

\[
\begin{cases}
3t \cdot 2^3 – u = 3 \\
9t \cdot 2^2 + u = 27
\end{cases}
\]

Sumamos estas ecuaciones:

\[
(3t \cdot 2^3 – u) + (9t \cdot 2^2 + u) = 3 + 27
\]

\[
24t – u + 36t + u = 30
\]

\[
60t = 30
\]

\[
t = \frac{30}{60}
\]

\[
t = \frac{1}{2}
\]

Dado que hemos encontrado que \( t = \frac{1}{2} \), podemos sustituir este valor en la primera ecuación:

\[
3t \cdot 2^3 – u = 3
\]

\[
3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 – u = 3
\]

\[
12 – u = 3
\]

\[
-u = 3 – 12
\]

\[
-u = -9
\]

\[
u = 9
\]

Ahora, para encontrar \( x \) y \( y \) deshacemos el cambio de variable, usamos los valores encontrados de \( t \) y \( u \):

Para \( x \):

\[
2^x = t = \frac{1}{2}
\]

\[
2^x = 2^{-1}
\]

Como las bases son iguales, igualamos los exponentes.

\[
x = -1
\]

Para \( y \):

\[
3^y = u = 9
\]

\[
3^y = 3^2
\]

\[
y = 2
\]

Entonces, la solución del sistema de ecuaciones es \( x = -1 \) y \( y = 2 \), escrito en forma de punto \( (-1,+2) \)

7) Sistema de ecuaciones no lineales

\[
\begin{cases}
x^2 – y = 3 \\
x^2 + y^2 = 5
\end{cases}
\]

Solución sistema de ecuaciones no lineales

Dado el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{cases}
x^2 – y = 3 \\
x^2 + y^2 = 5
\end{cases}
\]

Paso 1: Despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra

Despejamos \(y\) de la primera ecuación:

\[
y = x^2 – 3
\]

Sustituimos esta expresión de \(y\) en la segunda ecuación:

\[
x^2 + (x^2 – 3)^2 = 5
\]

Paso 2: Realizar un cambio de variable \(t = x^2\)

Hacemos el cambio de variable \(t = x^2\), entonces la ecuación se convierte en:

\[
t + (t – 3)^2 = 5
\]

Expandimos y simplificamos:

\[
t + (t^2 – 6t + 9) = 5
\]

\[
t + t^2 – 6t + 9 = 5
\]

\[
t^2 – 5t + 4 = 0
\]

Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática en \(t\)

Para resolver la ecuación cuadrática \(t^2 – 5t + 4 = 0\) utilizando la fórmula general, podemos usar la fórmula:

\[t = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}\]

donde \(a = 1\), \(b = -5\) y \(c = 4\).

Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

\[t = \frac{{-(-5) \pm \sqrt{{(-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4}}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[t = \frac{{5 \pm \sqrt{{25 – 16}}}}{2}\]

\[t = \frac{{5 \pm \sqrt{9}}}{2}\]

\[t = \frac{{5 \pm 3}}{2}\]

Entonces, las soluciones son:

\[t_1 = \frac{{5 + 3}}{2} = 4\]

\[t_2 = \frac{{5 – 3}}{2} = 1\]

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son \(t = 4\) y \(t = 1\).

Paso 4: Deshacer el cambio de variable y obtener los valores correspondientes de \(x\) y \(y\)

Para \(t = 4\):

\[
x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
\]

Para \(x = 2\):

\[
y = (2)^2 – 3 = 1
\]

Para \(x = -2\):

\[
y = (-2)^2 – 3 = 1
\]

Para \(t = 1\):

\[
x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1
\]

Para \(x = 1\):

\[
y = (1)^2 – 3 = -2
\]

Para \(x = -1\):

\[
y = (-1)^2 – 3 = -2
\]

Por lo tanto, las soluciones del sistema son:

\[
(x, y) = (2, 1), (-2, 1), (1, -2), (-1, -2)
\]

 

7) Sistema de ecuaciones logarítmicas

\[
\begin{cases}
x + y = 6 \\
\log{(2x)} – \log{y} = 1
\end{cases}
\]

Solución sistema de ecuaciones logarítmicas

Para resolver este sistema logarítmico, vamos a utilizar las propiedades de los logaritmos y el álgebra básica.

Dado el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{cases}
x + y = 6 \\
\log{(2x)} – \log{y} = 1
\end{cases}
\]

Primero, reescribimos la segunda ecuación utilizando la propiedad de los logaritmos:

\[
\log{(2x)} – \log{y} = 1\\

\log{\left(\frac{2x}{y}\right)} = log{1}
\]

Esto significa que:

\[
\frac{2x}{y} = 10^1 = 10
\]

\[
2x = 10y
\]

\[
x = 5y
\]

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones:

1. Utilizamos la primera ecuación para despejar una variable. Despejamos \(x\):

\[
x = 6 – y
\]

2. Sustituimos \(x\) en la segunda ecuación:

\[
6 – y = 5y
\]

3. Resolvemos la ecuación resultante para encontrar \(y\):

\[
6y = 6
\]

\[
y = 1
\]

4. Sustituimos \(y = 1\) en la primera ecuación para encontrar \(x\):

\[
x = 6 – 1
\]

\[
x = 5
\]

Por lo tanto, la solución del sistema es \(x = 5\) e \(y = 1\), en forma de punto \((5,1)\)