Circunferencia goniométrica

Razones trigonométricas en una circunferencia

Las razones trigonométricas son un conjunto de herramientas matemáticas que nos ayudan a entender las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo. En este artículo, vamos a explorar cómo funcionan estas razones dentro de una circunferencia especial llamada “circunferencia goniométrica o unitaria”.

¿Qué es una circunferencia goniométrica?

Una circunferencia unitaria es una circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas (el punto donde se cruzan los ejes X e Y) y su radio es igual a 1 unidad. Suena complicado, ¿verdad? Pero en realidad, es como un reloj que tiene un radio de 1 metro. ¿Puedes imaginarlo? Esta circunferencia es una herramienta poderosa para entender las razones trigonométricas.

Circunferencia unitaria – Fuente Wikipedia

Seno y coseno en la circunferencia Unitaria

Ahora, imaginemos un triángulo rectángulo dentro de esta circunferencia goniométrica, con uno de los lados sobre el eje X y el otro lado como la hipotenusa (la línea que va desde el origen hasta la circunferencia). Si calculamos el seno y el coseno del ángulo formado por esta línea, obtendremos dos números.

– El seno de este ángulo es la parte vertical del punto en la circunferencia. Es como la altura del punto en la circunferencia goniométrica. Esto se debe a que, en una circunferencia unitaria, la hipotenusa mide 1 unidad, por lo que dividir la altura (ordenada) entre la hipotenusa siempre da como resultado el valor del seno.

– El coseno de este ángulo es la parte horizontal del punto en la circunferencia. Es como la distancia del punto al eje Y. Nuevamente, debido a que la hipotenusa mide 1 unidad en la circunferencia unitaria, dividir la distancia horizontal (abscisa) entre la hipotenusa siempre da como resultado el valor del coseno.

Estos dos valores son muy importantes en matemáticas y se llaman razones trigonométricas. Pero aquí está la buena noticia: siempre estarán entre -1 y 1, lo que significa que no pueden ser números gigantes o pequeños. Esto los hace súper útiles para muchas aplicaciones matemáticas y científicas. En la imagen anterior, puedes ver la representación como segmentos de las otras razones trigonométricas más importantes: tangente, cotangente, secante y cosecante.

En este vídeo, te lo explico en 30 segundos 👇👇

¿Por qué usamos la circunferencia goniométrica?

La circunferencia unitaria es genial porque nos permite trabajar con ángulos grandes que no se pueden representar fácilmente en un triángulo rectángulo normal. Imagina que quieres saber cómo es un ángulo de 150 grados. No puedes hacerlo con un triángulo rectángulo común, pero la circunferencia unitaria lo hace posible.

Los ángulos positivos en la circunferencia unitaria van en contra del sentido del reloj, como cuando miras la manecilla de los minutos. Los ángulos negativos van en sentido contrario a las manecillas del reloj, como cuando retrocedes en el tiempo. Así que, si tienes un ángulo positivo de 150 grados, lo encuentras en sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del eje X.

Fuente: Wikipedia

¿Cómo podemos usar la circunferencia goniométrica?

La circunferencia goniométrica es una herramienta muy útil para resolver problemas de trigonometría, ya que permite relacionar las razones trigonométricas de un ángulo con las coordenadas de un punto en la circunferencia. Para usar la circunferencia goniométrica, debes seguir estos pasos:

• Dibuja una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de coordenadas (0,0). Divide la circunferencia en 4 cuadrantes, numerados del I al IV en sentido antihorario.
• Elige el ángulo que quieres estudiar y mide su amplitud desde el eje positivo de las abscisas (eje x) en sentido antihorario. Si el ángulo es mayor de 360º o menor de 0º, puedes reducirlo al primer giro (0º a 360º) sumando o restando múltiplos de 360º.
• Traza una recta desde el origen que forme el ángulo con el eje x. Esta recta cortará a la circunferencia en un punto P, cuyas coordenadas serán (x,y). Estas coordenadas son las mismas que las del vector que va desde el origen hasta el punto P.
• Dibuja un triángulo rectángulo con el origen, el punto P y la proyección de P sobre el eje x como vértices. Observa que la hipotenusa de este triángulo es el radio de la circunferencia, que vale 1. Por tanto, el seno del ángulo es igual al cateto opuesto, que es la coordenada y del punto P. El coseno del ángulo es igual al cateto adyacente, que es la coordenada x del punto P. La tangente del ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno, es decir, la coordenada y dividida por la coordenada x.
• Ten en cuenta el signo de las coordenadas del punto P según el cuadrante en el que se encuentre. En el primer cuadrante, ambas coordenadas son positivas. En el segundo cuadrante, la coordenada x es negativa y la y es positiva. En el tercer cuadrante, ambas coordenadas son negativas. En el cuarto cuadrante, la coordenada x es positiva y la y es negativa. 

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