División de polinomios

Os dejamos un nuevo vídeo para estudiar en casa y repasar el tema de los polinomios. En esta ocasión, veremos cómo realizar la división de polinomios de grado mayor que dos. El ejemplo es

Pasos para dividir polinomios

Para dividir dos polinomios, se usa el método de la longitud y el grado. El polinomio dividendo se divide por el polinomio divisor, utilizando las reglas de la aritmética de polinomios. El resultado de esta división es un polinomio cociente y un polinomio resto.

El proceso se puede ilustrar con un ejemplo:

Dividendo:  Divisor:

1. Escribir el dividendo y el divisor.
2. Seleccionar el término de mayor grado del dividendo y dividirlo entre el término de mayor grado del divisor. El resultado se coloca como el primer término del cociente. En este caso,
3. Multiplicar el divisor por el primer término del cociente y restarlo del dividendo. El resultado se llama el nuevo dividendo.
4. Repetir los pasos 2 y 3 con el nuevo dividendo y el divisor original hasta que el grado del nuevo dividendo sea menor que el del divisor.
5. Dividimos
6. Multiplicamos el divisor por el resultado del paso anterior y se lo restamos al dividendo:
7. Dividimos
8. Multiplicamos el divisor por el resultado del paso anterior y se lo restamos a lo que queda del dividendo:
9. El último nuevo dividendo será el polinomio resto, en este caso, el +6

Cociente:  Resto:

Es importante mencionar que en caso de que el grado del dividendo sea menor al grado del divisor, el cociente es cero y el resto es el dividendo.

Consejos para dividir polinomios

• Antes de comenzar, no olvides completar los dos polinomios.
• Nosotros vamos a hacer el producto entre el término del cociente y el divisor y escribiremos su opuesto. De este modo, en lugar de restar, sumaremos el opuesto que es una operación más sencilla de hacer de cabeza. Por ejemplo, en lugar de hacer nosotros haremos .

Vídeo sobre la división de polinomios

Esperamos que os sirva para entender mejor la división de polinomios. Además, podéis preguntar vuestras dudas comentando esta entrada.

¿Cómo se puede verificar si la división de dos polinomios es correcta?

La manera más común de verificar si la división de dos polinomios es correcta es multiplicando el cociente por el divisor y sumándolo al resto. El resultado debe ser igual al dividendo original. Esto se puede verificar mediante la llamada “regla de la división” que establece que:

Dividendo = Divisor * Cociente + Resto

Por ejemplo, si se divide entre , se obtiene un cociente de  y un resto de . Para verificar si la división es correcta, se puede multiplicar el divisor por el cociente y sumar el resto:

que coincide exactamente con el dividendo original de la división.

Es importante mencionar que la verificación de la división de polinomios se puede realizar con las herramientas matemáticas, como las calculadoras científicas, que permiten realizar operaciones polinómicas con facilidad como Wolfram-Alpha.

¿Qué sucede cuando el grado del dividendo es menor al grado del divisor?

Cuando el grado del dividendo es menor al grado del divisor, el cociente de la división de polinomios es cero y el resto es igual al dividendo. Es decir, no es posible dividir el dividendo exactamente entre el divisor, ya que el grado del dividendo es menor y no puede contener suficientes términos para completar la división.

Por ejemplo, si se trata de dividir  entre , el grado del dividendo es 2 y el grado del divisor es 3, entonces el cociente es cero y el resto es x^2 + 3x + 2.

En resumen, si el grado del dividendo es menor al grado del divisor, el cociente será cero y el resto será igual al dividendo original, es decir la división no es exacta.

¿Cómo se pueden dividir polinomios con coeficientes fraccionarios?

Para dividir polinomios con coeficientes fraccionarios, se sigue el mismo proceso que se utiliza para dividir polinomios con coeficientes enteros, pero se deben tener en cuenta las reglas de la aritmética fraccionaria.

Para dividir  entre , se puede seguir los siguientes pasos:

1. Escribir el dividendo y el divisor.
2. Seleccionar el término de mayor grado del dividendo y dividirlo entre el término de mayor grado del divisor. El resultado se coloca como el primer término del cociente. En este caso,
3. Multiplicar el divisor por el primer término del cociente y restarlo del dividendo. El resultado se llama el nuevo dividendo.
4. Dividimos
5. Restamos a lo que queda de denominador el producto de  por el divisor:
6. Dividimos
7. Restamos a lo que queda de denominador el producto de 2 por el divisor:

Cociente:  Resto:

Es importante mencionar que para verificar si la división es correcta se multiplica el cociente por el divisor y se suma el resto, es decir:

Es importante mencionar que en este caso el cociente y el resto tienen coeficientes fraccionarios, es importante tener en cuenta las reglas de la aritmética fraccionaria al operar con ellos.

¿Cómo se hace la división de polinomios enteros?

La división de polinomios enteros es un proceso matemático que permite dividir un polinomio (el dividendo) entre otro polinomio (el divisor), obteniendo como resultado un polinomio cociente y un polinomio resto. El proceso se lleva a cabo utilizando el método de la longitud y el grado, el cual se basa en la idea de dividir el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor, y luego repetir el proceso con el nuevo dividendo y el mismo divisor hasta que el grado del nuevo dividendo sea menor al grado del divisor.

El proceso se puede ver con un ejemplo:

Dividendo:  Divisor:

1. Escribir el dividendo y el divisor.
2. Seleccionar el término de mayor grado del dividendo y dividirlo entre el término de mayor grado del divisor. El resultado se coloca como el primer término del cociente. En este caso,
3. Multiplicar el divisor por el primer término del cociente y restarlo del dividendo. El resultado se llama el nuevo dividendo.
4. Repetir los pasos 2 y 3 con el nuevo dividendo y el divisor original hasta que el grado del nuevo dividendo sea menor que el del divisor.
5. El último nuevo dividendo será el polinomio resto.

Cociente:  Resto:

Es importante mencionar que en caso de que el grado del dividendo sea menor al grado del divisor, el cociente es cero y el resto es el dividendo.

La división de polinomios enteros es una técnica importante en la matemática ya que permite dividir polinomios de una manera similar a como se dividen números enteros. Además, es una herramienta fundamental en la teoría de números y en la teoría de polinomios.

Ejercicios resueltos de división de polinomios

En esta calculadora de divisiones de polinomios sólo tienes que introducir el polinomio dividendo y el polinomio divisor y ella te dará el cociente y el resto resultados de la división. Así podrás comprobar que tus ejercicios tienen la solución correcta antes de entregarlos en clase.