Uno de los conceptos más importantes en matemáticas es la noción de límites. El límite facilita el análisis del comportamiento de las funciones en puntos críticos y la formulación de hipótesis generales sobre sus propiedades.

En este artículo, exploraremos el importante concepto de límites de manera concisa. Discutiremos algunos métodos útiles que nos ayudarán a evaluar los límites de las funciones. También abordaremos algunos ejemplos para comprender los límites con precisión.

Límites (Lim) en Cálculo: Definición

El límite de una función f(x) se puede definir cuando h tiende a a:

Limite de f(h) cuando h tiende a a es M

Además, indica que para un número positivo ε (pronunciado épsilon), existe un número positivo δ (pronunciado como delta) tal como:

\text{Para }\varepsilon \text{ positivo, existe } \delta \text{ positivo tal que}

Expresado de manera más simple, la función f(h) se acerca arbitrariamente a M cuando h se acerca arbitrariamente a a.

Cálculos de límites

En el campo de las matemáticas, calcular límites de funciones nos permite determinar cómo se comportarán esas funciones cuando su entrada se acerque a un valor específico. Esto es útil cuando se trabaja con funciones discontinuas.

Los límites se pueden determinar utilizando diferentes métodos útiles. Los métodos importantes para determinar el límite de una función son la sustitución directa, el método de factorización y la racionalización.

Cada método ofrece una forma diferente de descomponer la expresión de la función y encontrar el límite. Ahora analicemos estos métodos y comprendamos cómo nos ayudan a encontrar los límites de las funciones.

Método de sustitución directa

Simplemente poner el valor del límite en la función y observar si ayuda a encontrar el límite es el primer método para calcular el límite de la función. La sustitución directa se puede utilizar para encontrar el límite de la función continua.

Este método es muy útil para el cálculo del límite de la función. Por ejemplo:

Limite de 2h^4+5h^3-7h+4 cuando h tiende a a

La función en el ejemplo anterior se puede calcular usando este método para obtener los límites de las funciones.

Método de factorización

La factorización es un método importante y se emplea en cálculo para factorizar expresiones en el numerador y denominador de la función. Nos permite identificar un factor común entre el numerador y los denominadores, y resultados de cancelación matemática para ambos.

Posteriormente, el método de sustitución directa simplifica el cálculo del límite de la función.

Limite de (5h^2-2h-7)/(5h^2+3h-2) cuando h tiende a a

Los problemas como el ejemplo anterior se resuelven siguiendo el método de factorización.

Método irracional

En determinados casos en el estudio de las matemáticas, las funciones se forman mediante expresiones de forma irracional. A veces, los límites de estas funciones siguen siendo inciertos principalmente porque están involucrados símbolos o expresiones radicales.

El método para determinar los límites mediante racionalización es racionalizar la forma irracional expresada en la función para evitar que el límite sea indeterminado. Los pasos importantes para calcular el límite de la función son:

  • Observa la expresión irracional en la función.
  • Calcule el límite de la función utilizando el método de sustitución directa para evaluar si la función involucra expresiones en forma radical y si está dando una forma indeterminada o no.
  • Ahora, en el último paso, racionaliza la expresión irracional tomando su conjugado. Luego, calcula el límite de la función mediante el método de sustitución directa.

Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver Limite de (2h^3-3h^2+3h-5) cuando h tiende a 2

SOLUCIÓN:

Paso 1: La función dada es:

Limite de (2h^3-3h^2+3h-5) cuando h tiende a 2

Paso 2: Coloque el valor del límite en la función, es decir, mediante sustitución directa.

= [2(2)^{3} - 3(2)^{2} + 3(2) - 5]

= [2(8) - 3(4) + 6 - 5]

= (16 - 12 + 6 - 5) = 5.

Ejemplo 2:

Calcular el límite de la función Limite de [(h^2-3h+2)/(h^2-5h+4)] cuando h tiende a 1

SOLUCIÓN:

Paso 1: La función dada es:

Limite de [(h^2-3h+2)/(h^2-5h+4)] cuando h tiende a 1

Al colocar el valor del límite, el límite de la función es indeterminado.

Paso 2: factorizar las expresiones en el denominador y numerador para obtener la función en forma simple.

=[\lim_{h \to 1} \left ( h^2-2h-h+2 \right )/\left ( h^2-4h-h+4 \right )]

=[\lim_{h \to 1} \left ( h(h-2)-1(h-2) \right )/\left ( h(h-4)-1(h-4) \right )]

=[\lim_{h \to 1} (h-2)(h-1)/(h-4)(h-1)]

Paso 3: Cancele los mismos factores y obtendremos la expresión en forma simple.

=[\lim_{h \to 1} (h-2)(h-1)/(h-4)(h-1)]

=[\lim_{h \to 1} (h-2)/(h-4)]

Paso 4: Coloque el valor límite para determinar la respuesta exacta.

=[\lim_{h \to 1} (h-2)/(h-4)]

=(1-2)/(1-4)

Limite de [(h^2-3h+2)/(h^2-5h+4)] cuando h tiende a 1 es 1/3

Ejemplo 3:

Calcular el límite de la función Limite de [(sqrt{h}-sqrt{6})/(h-6)] cuando h tiende a 6

SOLUCIÓN:

Paso 1: La función dada es:

Limite de [(sqrt{h}-sqrt{6})/(h-6)] cuando h tiende a 6

Paso 2: Ahora racionaliza el numerador de la función dada tomando su conjugado.

Limite de [(sqrt{h}-sqrt{6})/(h-6)*1] cuando h tiende a 6

=\lim_{h \to 6} \left [ \left ( \sqrt{h}-\sqrt{6} \right )/\left ( h-6 \right ) * \left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right )/\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ]

=\lim_{h \to 6} \left [ \left ( \sqrt{h}-\sqrt{6} \right )*\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ]/\left [ \left ( h-6 \right )*\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ]

=\lim_{h \to 6} \left [ \left ( \sqrt{h} \right )^2-\left ( \sqrt{6} \right )^2 \right ]/\left [ \left ( h-6 \right )*\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ]

\begin{align} &=\lim_{h \to 6} \left [ \left ( h-6 \right )/\left ( h-6 \right )*\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ] \\ &=\lim_{h \to 6} \left [ 1/\left ( \sqrt{h}+\sqrt{6} \right ) \right ] \\ &=\left [ 1/\left ( \sqrt{6}+\sqrt{6} \right ) \right ] \\ &=\left ( 1/2\sqrt{6} \right ) \end{}

Concluyendo

En esta exhaustiva discusión hemos expuesto con precisión el concepto de límite. Hemos explorado los métodos importantes para calcular los límites de la función. También hemos abordado ejemplos relevantes para comprender estos métodos útiles para el cálculo de los límites de la función.