Ecuaciones bicuadradas

Por ecuaciones bicuadradas nos referimos a las ecuaciones polinómicas de grado 4 que tienen la siguiente forma:

ax^4+bx^2+c = 0

Ecuaciones bicuadradas - Ejemplo de ecuación de grado 4

Podemos encontrar otras ecuaciones que se pueden resolver de forma parecida a las bicuadradas como las ecuaciones Ecuaciones bicuadradas - Familia con el mismo método del cambio de variable.

¿Cómo resolver una ecuación bicuadrada?

Podemos resolver estas ecuaciones por el método general de las ecuaciones polinómicas. Lo haríamos  factorizando el polinomio y encontrando las sus raíces, que serán las soluciones de la ecuación polinómica. Sin embargo, para resolver este tipo de ecuaciones, existe un método específico. Lo primero que vamos a hacer es realizar un cambio de variable:

Y sustituimos cada  por una t quedando la ecuación de la siguiente forma:

que se resuelve mediante la fórmula de las ecuaciones de segundo grado obteniendo dos soluciones que llamaremos  y

Una vez obtenidas estas dos soluciones en t, nos disponemos a calcular las soluciones en x deshaciendo el cambio de variable anterior.

Por cada valor de t, obtendremos dos valores de x al resolver la raíz cuadrada. Por tanto, tendremos 4 soluciones de la ecuación.

Hay que tener en cuenta que, si alguno de los dos valores de t es negativo, no podremos resolver la raíz cuadrada en R por lo que puede que la ecuación no tenga 4 soluciones reales, sino menos o ninguna.

Os dejamos, a continuación, el vídeo con la explicación y 2 ecuaciones bicuadradas resueltas paso a paso. Te recomiendo que pares el vídeo y trates tú de resolver las ecuaciones. Luego, puedes avanzar el vídeo e ir viendo si has realizado correctamente todos los pasos hasta llegar a la solución de estas ecuaciones bicuadradas.

Puedes plantear tus dudas como un comentario a esta entrada del blog o en el propio vídeo de YouTube. Trataré de contestarte lo antes posible. Mucho ánimo con tus estudios de Matemáticas.

 

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Ecuaciones bicuadradas resueltas

En 3º de ESO y 4º de ESO, se trabaja en profundidad el tema de las ecuaciones polinónicas. Las ecuaciones bicuadradas son un tipo especial de ellas. Te ofrezco ahora algunos ejercicios resueltos de este tipo de ecuaciones incompletas para practicar todo lo que necesites.

Ecuación bicuadrada ejercicio 1

Opera y simplifica

Ecuación bicuadrada

Ejercicio 29a – Tema 4 – SM Savia Nueva Generación

Solución ecuación bicuadrada resuelta 1

Ecuación bicuadrada

Como esta ecuación bicuadrada incompleta tiene todos sus términos en el mismo miembro y el otro es igual a cero, no tenemos que hacer nada para simplificarla.

Haremos, en primer lugar, el cambio  de variable.

Ecuación bicuadrada - Cambio de variable

Ahora, hemos reducido el problema a resolver una ecuoanci de segundo grado completa cuya incógnita es t.

Resolver la ecuación en t con el cambio de variable.

Vamos a simplificar primero el discriminante de la raíz y el denominador.

Ecuaciones bicuadradas ejercicios

Ahora debemos bifurcar el ejercicio de esta clase de Matemáticas ya que la raíz cuadrada tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo. Vamos a llamar  al resultado cogiendo la raíz positiva y a  al resultado cogiendo la raíz negativa.

\begin{aligned} t&=\dfrac{5\pm 3}{2}\\ t_{1}&=\dfrac{5+3}{2}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{8}{2}\Rightarrow t_{1}=4\\ t_{2}&=\dfrac{5-3}{2}\Rightarrow t_{2}=\dfrac{2}{2}\Rightarrow t_{2}=1\\ \end{aligned}

Ya tenemos los resultados de la variable t, pero nosotros queremos averiguar el valor de x por lo que debemos deshacer el cambio de variable.

Tenemos que realizar dicho cambio de variable en la ecuación bicuadrada para los dos valores de t.

Ecuación bicuadrada - Deshacer el cambio de variable

En este ejercicio resuelto de ecuación bicuadrada hemos obtenido, finalmente, cuatro soluciones enteras que coincide con el grado del polinomio.

Ecuación bicuadrada ejercicio 2

Resuelve esta ecuación bicuadrada incompleta

Resuelve esta ecuación bicuadrada incompleta

Ejercicio 29b – Tema 4 – SM Savia Nueva Generación

Solución ecuación bicuadrada resuelta 2

Resolver esta ecuación bicuadrada incompleta

Al igual que el primer ejemplo, esta ecuación de grado 4 incompleta ya está simplificada y colocada correctamente, por tanto, aplicamos el cambio de variable. Se podría aplicar regla de Ruffini, pero es más rápido el cambio de variable.

Ejercicio ecuación bicuadrada

Ahora, hemos reducido el problema a resolver una ecuación de segundo grado completa cuya incógnita es t.

Ecuación bicuadrada paso a paso

Esta ecuación tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo. Vamos a llamar  al resultado cogiendo la raíz positiva y a  al resultado cogiendo la raíz negativa.

Encontrar las dos soluciones

Ya tenemos los resultados de la variable t, pero nosotros queremos averiguar el valor de x por lo que debemos deshacer el cambio de variable.

Bicuadrada - Deshacer cambio de variable

Tenemos que realizar dicho cambio de variable para los dos valores de t.

Soluciones ecuación bicuadrada

En este paso damos esta ecuación bicuadrada incompleta como resuelta. Hemos obtenido, finalmente, cuatro soluciones irracionales que coinciden en número con el grado del polinomio de la ecuación.

Ecuación bicuadrada ejercicio 3

Resuelve esta ecuación

\begin{aligned} x^{4}-10x^{2}+9=0\\ \end{aligned}

Ejercicio 29c – Tema 4 – SM Savia Nueva Generación

Solución ecuación bicuadrada resuelta 3

x410x2+9=0

Vamos a resolver la ecuación incompleta que es una ecuación de cuarto grado polinómica. Como ya se encuentra simplificada y colocada de modo adecuado, aplicamos el cambio de variable.

x410x2+9=0

Ahora, hemos reducido el problema a calcular una ecuación de segundo grado completa cuya incógnita es t.

Resolver ecuación

Esta ecuación de segundo grado tiene un par de resultados, uno positivo y otro negativo. Vamos a llamar  al resultado cogiendo la raíz positiva y a  al resultado cogiendo la raíz negativa.

\begin{aligned} t_{1}=\dfrac{10+8}{2}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{18}{2}\Rightarrow t_{1}=9\\ t_{2}=\dfrac{10-8}{2}= >t_{2}=\dfrac{2}{2}\Rightarrow t_{2}=1\\ \end{aligned}

Ya tenemos los resultados de la variable t, pero nosotros queremos averiguar el valor de x por lo que vamos a  deshacer el cambio de variable.

\begin{aligned} t=x^{2}\Rightarrow x=\sqrt{t}\\ \end{aligned}

Tenemos que realizar dicho cambio de variable en la ecuación bicuadrada para los dos valores de t. No necesitamos la calculadora porque son números sencillos de calcular.

\begin{aligned} t_{1}=\dfrac{10+8}{2}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{18}{2}\Rightarrow t_{1}=9\\ t_{2}=\dfrac{10-8}{2}= >t_{2}=\dfrac{2}{2}\Rightarrow t_{2}=1\\ \end{aligned}

Ya tenemos la resolución de este ejercicio de ecuación bicuadrada que tiene cuatro soluciones que son números enteros lo que coincide con el teorema fundamental del álgebra que nos dice que debería tener cuatro.

\begin{aligned} t&=x^{2}\Rightarrow x=\sqrt{t}\\ t_{1}&=9\Rightarrow x=\sqrt{9}\begin{cases}{\color{Red} x_{1}=+3}\\ {\color{Red} x_{2}=-3}\end{cases}\\ t_{2}&=1\Rightarrow x=\sqrt{1}\begin{cases}{\color{Red} x_{3}=+1}\\ {\color{Red} x_{4}=-1}\end{cases} \end{aligned}

Ejercicio resuelto 4

Resuelve esta ecuación bicuadrada

Ejercicio 29d – Tema 4 – SM Savia Nueva Generación

Solución ecuación resuelta 4

Vamos a resolver un ecuación bicuadrada que es parte de las ecuaciones de cuarto grado polinómicas.

En primer lugar, tenemos que colocar nos términos en su lugar dejando a la derecha un cero en el miembro segundo.

Vamos a resolver la ecuación de grado 4 incompleta. Procedemos a aplicar el cambio de variable.

En este momento, vamos a resolver la ecuación cuadrática completa cuya incógnita es t para, luego, calcular los resultados en la variable x.

Vamos a nombrar como  y  a los resultados de esta ecuación.

Ya tenemos los resultados de la variable t, pero nosotros queremos averiguar el valor de x por lo que vamos a deshacer el cambio de variable.

Deshacer el cambio de variable en la ecuación bicuadrática

Tenemos que realizar dicho cambio de variable en la ecuación bicuadrada para los dos valores de t. No necesitamos la calculadora porque son números irracionales y el mejor no aproximarlos.

\begin{aligned} x^{2}=t\Rightarrow x=\sqrt{t}\\ t_{1}=5\Rightarrow x=\sqrt{5}\begin{cases}{\color{Red} x_{1}=+\sqrt{5}}\\ {\color{Red} x_{2}=-\sqrt{5}}\end{cases}\\ t_{2}=2= >x=\sqrt{2}\begin{cases}{\color{Red} x_{3}=+\sqrt{2}}\\ {\color{Red} x_{4}=-\sqrt{2}}\end{cases} \end{aligned}

El ejercicio de ecuación bicuadrada de esta clase de Matemáticas, una vez resuelto tiene cuatro soluciones que son números irracionales por lo que coincide con el teorema fundamental del álgebra que nos dice que debería tener cuatro.

Ejercicio ejemplo 5

Resuelve esta ecuación bicuadrada

Ejercicio 29e – Tema 4 – SM Savia Nueva Generación

Solución 5

\begin{aligned} 4x^{4}-37x^{2}+9=0\\ \end{aligned}

Vamos a resolver esta ecuación de cuarto grado. Aplicamos el cambio de variable.

\begin{aligned} 4x^{4}-37x^{2}+9=0\\ x^{2}=t\\ 4t^{2}-37t+9=0\\ \end{aligned}

En este momento, vamos a resolver la ecuación cuadrática completa cuya incógnita es t para, luego, calcular los resultados en la variable x.

\begin{aligned} 4t^{2}-37t+9&=0\\ t&=\dfrac{37\pm \sqrt{1369-4\left( 4\right) \left( 9\right) }}{2\left( 4\right) }\\ t&=\dfrac{37\pm \sqrt{1369-144}}{8}\\ t&=\dfrac{37\pm \sqrt{1225}}{8}\\ t&=\dfrac{37\pm 35}{8}\\ \end{aligned}

Vamos a nombrar como  y  a los resultados de esta ecuación.

\begin{aligned} t_{1}=\dfrac{37+35}{8}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{72}{8}\Rightarrow t_{1}=9\\ t_{2}=\dfrac{37-35}{8}\Rightarrow t_{2}=\dfrac{2}{8}\Rightarrow t_{2}=\dfrac{1}{4}\\ \end{aligned}

Ya tenemos los resultados de la variable t, pero nosotros queremos averiguar el valor de x por lo que vamos a  deshacer el cambio de variable.

\begin{aligned}t=x^{2}\Rightarrow x=\sqrt{t} \end{aligned}

Tenemos que realizar dicho cambio de variable en la ecuación bicuadrada para los dos valores de t. No necesitamos la calculadora, mejor dejamos las fracciones simplificadas.

\begin{aligned} x^{2}=t&\Rightarrow x=\sqrt{t}\\ t_{1}=9&\Rightarrow x=\sqrt{9}\Rightarrow \begin{cases}{\color{Red} x_{1}=+3}\\ {\color{Red} x_{2}=-3}\end{cases}\\ t_{2}=\dfrac{1}{4}&\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{1}{4}}\Rightarrow \begin{cases}{\color{Red} x_{3}=+\dfrac{1}{2}}\\ {\color{Red} x_{4}=-\dfrac{1}{2}}\end{cases} \end{aligned}

El ejercicio de ecuación bicuadrada una vez resuelto tiene cuatro soluciones que son dos números enteros y dos racionales por lo que coincide con el teorema fundamental del álgebra que nos dice que debería tener cuatro.

Ejercicio resuelto ejemplo 6

Resuelve esta ecuación bicuadrada de grado 4

Ejercicio 29f – Tema 4 – SM Savia Nueva Generación

\frac{3}{4}
Solución 6

Vamos a resolver la ecuación incompleta que es una de las ecuaciones de cuarto grado de esta clase de Matemáticas. Podemos factorizar el polinomio mediante la regla de Ruffini, pero vamos a aplicar el cambio de variable.

En este momento, vamos a resolver la ecuación de segundo grado completa cuya incógnita es t para, luego, calcular los resultados en la variable x.

Ya tenemos los resultados de la variable t, pero nosotros queremos averiguar el valor de x por lo que vamos a  deshacer el cambio de variable.

Deshacer el cambio de variable en la ecuación bicuadrática

Tenemos que realizar dicho cambio de variable para los dos valores de t.

Este ejercicio resuelto de ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones que son dos números enteros y dos racionales.

Ejemplo de ejercicio resuelto 7

Resuelve esta ecuación bicuadrada

Ecuaciones bicuadradas

Ejercicio 29g – Tema 4 – SM Savia Nueva Generación

Solución 7

Ejercicio ecuación bicuadrada resuelto

Vamos a resolver la ecuación bicuadrada incompleta. Procedemos al cambio de variable.

Cómo resolver una ecuación bicuadrada con un cambio de variable

En este momento, vamos a resolver la ecuación de segundo grado completa cuya incógnita es t para, luego, calcular los resultados en la variable x.

Ya tenemos los resultados de la variable t, pero nosotros queremos en esta clase de Matemáticas averiguar el valor de x por lo que vamos a  deshacer el cambio de variable.

Este ejercicio resuelto de ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones que son dos números enteros y dos irracionales.

Ejercicio 8

Resuelve esta ecuación bicuadrada

Ejercicio 29h – Tema 4 – SM Savia Nueva Generación

Solución 8

Colocamos los términos en el lugar adecuado.

Vamos a resolver la ecuación bicuadrada de cuarto grado incompleta. Aplicamos el cambio de variable.

En este momento, vamos a resolver la ecuación de segundo grado completa cuya incógnita es t para, luego, calcular los resultados en la variable x.

Ya tenemos los resultados de la variable t, pero nosotros queremos averiguar el valor de x por lo que vamos a  deshacer el cambio de variable.

Este ejercicio resuelto tiene cuatro soluciones que son dos números enteros y dos irracionales.

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Ecuaciones bicuadradas ejercicios

Aunque no son ecuaciones bicuadradas propiamente dichas, estas ecuaciones incompletas se resuelven de forma muy similar haciendo un cambio de variable.

¿Qué son las ecuaciones bicúbicas?

Las ecuaciones bicúbicas son ecuaciones de la familia de las bicuadradas en el sentido de que se resuelven aplicando un cambio de variable. Se trata de ecuaciones incompletas que solo tienen los términos de grado 6, grado 3 y el término independiente.

¿Cómo resuelver una ecuación bicúbida?

  1. Simplificamos la ecuacion hasta dejarla de la forma ax^{6}+bx^{3}+c=0.
  2. Hacemos el cambio de variable  t=x^{3}.
  3. Resolvemos la ecuación de segundo grado en t.
  4. Deshacemos el cambio de variable x=\sqrt[3]{t}.

Otras ecuaciones de la familia de las bicuadradas

Podemos encontrarnos otras ecuaciones similares a las bicúbicas, pero de grado 8 y grado 10. Se trata también de ecuaciones con 3 términos incompletas cuyos cambios de variable serían:

  • Ecuación de grado 8 del tipo ax^{8}+bx^{4}+c=0 en las que tenemos que hacer el cambio de variable t=x^{4}.
  • Ecuaciones de grado 10 del tipo ax^{10}+bx^{5}+c=0 en las que tenemos que hacer el cambio de variable t=x^{5}.

Ejercicio ecuación bicuadrada de grado 6

Encuentra las soluciones de esta ecuación bicuadrada de grado 6.

 

Solución ejercicio resuelto 1

\begin{aligned} 8x^{6}-63x^{3}-8=0\\ \end{aligned}

Vamos a resolver esta ecuación incompleta haciendo una cambio de variable de forma similar a como resolvemos las ecuaciones bicuadradas.

\begin{aligned} 8x^{6}-63x^{3}-8=0\\ t=x^{3}\\ 8t^{2}-63t-8=0\\ \end{aligned}

Resolvemos las ecuación de segundo grado completa en t.

\begin{aligned} 8t^{2}-63t-8&=0\\ t&=\dfrac{63\pm \sqrt{3969-4\left( 8\right) \left( -8\right) }}{2\cdot \left( 8\right) }\\ t&=\dfrac{63\pm \sqrt{3969+256}}{16}\\ t&=\dfrac{63\pm \sqrt{4225}}{16}\\ t&=\dfrac{63\pm 65}{16}\\ t_{1}&=\dfrac{63+65}{16}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{128}{16}\Rightarrow t_{1}=8\\ t_{2}&=\dfrac{63-65}{16}\Rightarrow t_{2}=\dfrac{-2}{16}\Rightarrow t_{2}=-\dfrac{1}{8}\\ \end{aligned}

Deshacemos el cambio de variable como en las bicuadradas:

\begin{aligned} t=x^{3}&\Rightarrow x=\sqrt[3] {t}\\ t_{1}=8&\Rightarrow x=\sqrt[3] {8}\Rightarrow x_{1}=2\\ t_{2}=-\dfrac{1}{8}&\Rightarrow x=\sqrt{-\dfrac{1}{8}}\Rightarrow x_{2}=-\dfrac{1}{2} \end{aligned}

 

Ejercicio 2

Encuentra las soluciones de esta ecuación bicuadrada de grado 6.

\begin{aligned} x^{6}-9x^{3}+8=0\\ \end{aligned}

 

Solución ejercicio resuelto 2

\begin{aligned} x^{6}-9x^{3}+8=0\\ \end{aligned}

Vamos a resolver esta ecuación incompleta haciendo una cambio de variable de forma similar a como resolvemos las ecuaciones bicuadradas.

\begin{aligned} x^{6}-9x^{3}+8=0\\ t=x^{3}\\ t^{2}-9t+8=0\\ \end{aligned}

Resolvemos las ecuación de segundo grado completa (ecuación cuadrática) en t.

\begin{aligned} t^{2}-9t+8&=0\\ t&=\dfrac{9\pm \sqrt{81-4\left( 1\right) \left( 8\right) }}{2\left( 1\right) }\\ t&=\dfrac{9\pm \sqrt{81-32}}{2}\\ t&=\dfrac{9\pm \sqrt{49}}{2}\\ t&=\dfrac{9\pm 7}{2}\\ t_{1}&=\dfrac{9+7}{2}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{16}{2}\Rightarrow t_{1}=8\\ t_{2}&=\dfrac{9-7}{2}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{2}{2}\Rightarrow t_{2}=1\\ \end{aligned}

Deshacemos el cambio de variable como en las bicuadradas:

\begin{aligned} t=x^{3}&\Rightarrow x=\sqrt[3] {t}\\ t_{1}=8&\Rightarrow x_{1}=\sqrt[3] {8}\Rightarrow x_{1}=2\\ t_{2}=1&\Rightarrow x_{2}=\sqrt[3] {1}\Rightarrow x_{2}=1 \end{aligned}

 

Ejercicio 3

Encuentra las soluciones de esta ecuación de la familia de las bicuadradas de grado 6

\begin{aligned} x^{6}-35x^{3}+216=0\\ \end{aligned}

 

 

Solución ejercicio resuelto Matemáticas 3

\begin{aligned} x^{6}-35x^{3}+216=0\\ \end{aligned}

Vamos a resolver esta ecuación incompleta haciendo una cambio de variable de forma similar a como resolvemos las ecuaciones bicuadradas.

\begin{aligned} x^{6}-35x^{3}+216=0\\ x^{3}=t\\ t^{2}-35t+216=0\\ \end{aligned}

Resolvemos las ecuación de segundo grado completa en t.

\begin{aligned} t^{2}-35t+216&=0\\ t&=\dfrac{35\pm \sqrt{1225-4\left( 1\right) \left( 216\right) }}{2\left( 1\right) }\\ t&=\dfrac{35\pm \sqrt{1225-864}}{2}\\ t&=\dfrac{35\pm \sqrt{361}}{2}\\ t&=\dfrac{35\pm 19}{2}\begin{cases}t_{1}=\dfrac{35+19}{2}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{54}{2}\Rightarrow t_{1}=27\\ t_{2}=\dfrac{35-19}{2}\Rightarrow t_{2}=\dfrac{16}{2}\Rightarrow t_{2}=8\end{cases}\\ \end{aligned}

Deshacemos el cambio de variable como en las bicuadradas:

\begin{aligned} t=x^{3}\Rightarrow x=\sqrt[3] {t}\\ t_{1}=27\Rightarrow x_{1}=\sqrt[3] {27}\Rightarrow x_{1}=3\\ t_{2}=8\Rightarrow x_{2}=\sqrt[3] {8}\Rightarrow x_{2}=2 \end{aligned}

 

Ejercicio ecuaciones bicuadradas grado 8

Encuentra las soluciones de esta ecuación de la familia de las ecuaciones bicuadradas de grado 8.

\begin{aligned} x^{8}-97x^{4}+1296=0\\ \end{aligned}

 

 

Solución ejercicio resuelto Matemáticas 8

\begin{aligned} x^{8}-97x^{4}+1296=0\\ \end{aligned}

Vamos a resolver esta ecuación incompleta haciendo una cambio de variable de forma similar a como resolvemos las ecuaciones bicuadradas. Si optamos por hacer la factorización con la regla de Riffini, te das cuenta que los números candidatos son los divisores del término independiente 1296 que son muchos. Este es un buen ejemplo de ecuación bicuadrada en la que aplicamos el cambio de variable para ahorrar mucho tiempo.

\begin{aligned} x^{8}-97x^{4}+1296=0\\ t=x^{4}\\ t^{2}-97t+1296=0\\ \end{aligned}

Resolvemos las ecuación de cuadrática completa en t.

\begin{aligned} t^{2}-97t+1296&=0\\ t&=\dfrac{97\pm \sqrt{9409-4\left( 1\right) \left( 1296\right) }}{2\cdot \left( 1\right) }\\ t&=\dfrac{97\pm \sqrt{9409-5184}}{2}\\ t&=\dfrac{97\pm \sqrt{4225}}{2}\\ t&=\dfrac{97\pm 65}{2}\begin{cases}t_{1}=\dfrac{97+65}{2}=]t_{1}=\dfrac{162}{2}\Rightarrow t_{1}=81\\ t_{2}=\dfrac{97-65}{2}\Rightarrow t_{2}=\dfrac{32}{2}\Rightarrow t_{2}=16\end{cases}\\ \end{aligned}

Deshacemos el cambio de variable como en las bicuadradas:

\begin{aligned} t=x^{4}\Rightarrow x=\sqrt[4] {t}\\ t_{1}=81\Rightarrow x=\sqrt[4] {81}\begin{cases}x_{1}=+3\\ x_{2}=-3\end{cases}\\ t_{2}=16\Rightarrow x=\sqrt[4] {16}\begin{cases}x_{3}=+2\\ x_{y}=-2\end{cases} \end{aligned}

(Clase de Matemáticas)

Ejercicio 5

Resuelve esta ecuación de la familia de las bicuadradas de grado 8.

\begin{aligned} x^{8}-97x^{4}+1296=0\\ \end{aligned}

 

 

Solución ejercicio resuelto Matemáticas 5

\begin{aligned} x^{10}+31x^{5}-32=0\\ \end{aligned}

Vamos a resolver esta ecuación incompleta. Aplicamos el cambio de variable similar a como resolvemos las ecuaciones bicuadradas.

\begin{aligned} x^{10}+31x^{5}-32=0\\ x^{5}=t\\ t^{2}+31t-32=0\\ \end{aligned}

Resolvemos las ecuación cuadrática completa en t.

\begin{aligned} t^{2}+31t-32&=0\\ t&=\dfrac{-31\pm \sqrt{961-4\left( 1\right) \left( -32\right) }}{2\cdot \left( 1\right) }\\ t&=\dfrac{-31\pm \sqrt{1089}}{2}\\ t&=\dfrac{-31\pm 33}{2}\begin{cases}t_{1}=\dfrac{-31+33}{2}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{2}{2}\Rightarrow t_{1}=1\\ t_{2}=\dfrac{-31-33}{2}\Rightarrow t_{2}=\dfrac{-6y}{2}\Rightarrow t_{2}=-32\end{cases}\\ \end{aligned}

Al final del ejercicio, debemos deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones en la variable original x.

\begin{aligned} t=x^{5}\Rightarrow x=\sqrt[5] {t}\begin{cases}t_{1}=1\Rightarrow x_{1}=\sqrt[5] {1}\Rightarrow x_{1}=1\\ t_{2}=-32\Rightarrow x_{2}=\sqrt[5] {-32}\Rightarrow x_{2}=-2\end{cases} \end{aligned}

 

Ejercicio 6

Resolver esta ecuación de la familia de las bicuadradas de grado 6

\begin{aligned} x^{3}-\dfrac{1}{x^{3}}=\dfrac{15624}{125}\\ \end{aligned}

 

 

Solución ejercicio resuelto Matemáticas 6

\begin{aligned} x^{3}-\dfrac{1}{x^{3}}=\dfrac{15624}{125}\\ \end{aligned}

Antes de resolver esta ecuación, debemos quitar los denominadores para que podamos hacer los cálculos de esta ecuación más sencillos.

Para ello, multiplicamos por \inline 125x^3 y colocamos los términos en el miembro de la izquierda.

\begin{aligned} \dfrac{125x^{6}}{125x^{3}}-\dfrac{125}{125x^{3}}=\dfrac{15624x^{3}}{125x^{3}}\\ 125x^{6}-125=15624x^{3}\\ 125x^{6}-15624x^{3}-125=0\\ \end{aligned}

Vamos a resolver esta ecuación incompleta haciendo una cambio de variable de forma similar a como resolvemos las ecuaciones bicuadradas.

\begin{aligned} 125x^{6}-15624x^{3}-125&=0\\ t&=x^{3}\\ 125t^{2}-15624t-125&=0\\ \end{aligned}

Resolvemos las ecuación de segundo grado completa en t.

\begin{aligned} 125t^{2}-15624t-125&=0\\ t&=\dfrac{15624\pm \sqrt{244109376-4\left( 125\right)\cdot \left( -125\right) } }{2\cdot 125}\\ t&=\dfrac{15624\pm 15626}{250}\\ t_{1}&=\dfrac{31250}{250}\Rightarrow t_{1}=125\\ t_{2}&=\dfrac{-2}{2^{1}50}\Rightarrow t_{2}=-\dfrac{1}{125}\\ \end{aligned}

Al final del ejercicio, debemos deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones en la variable original x.

\begin{aligned} t=x^{3}&\Rightarrow x=\sqrt[3] {t}\\ t_{1}=125&\Rightarrow x_{1}=\sqrt[3] {125}\Rightarrow x_{1}=5\\ t_{2}=-\dfrac{1}{125}&\Rightarrow x_{2}=\sqrt[3] {-\dfrac{1}{125}}\Rightarrow x_{2}=-\dfrac{1}{5} \end{aligned}

 

 

 

 

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Ejercicios ecuaciones bicuadradas PDF

Si todavía quieres más, en este apartado te dejamos las ecuaciones bicuadradas en PDF resueltas paso a paso para que puedas descargarlas y practicar todo lo que necesites. Encontrarás las que aparecen en esta entrada sobre las ecuaciones bicuadradas incompletas y el resto de dudas que los usuarios del canal de YouTube y del blog me van planteando. Espero que os sirvan. ¡Ánimo con tus estudios!

📥 Descargar fichero PDF – ESO3 – Ecuaciones polinómicas – Ecuaciones bicuadradas

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  1. Aquí contestaremos a los ejercicios y dudas de ecuaciones bicuadradas que nos vayáis planteando

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Ecuaciones bicuadradas
Nombre del artículo
Ecuaciones bicuadradas
Descripción
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas en las que faltan varios términos. Para resolverlas, haremos un cambio de variable y las reduciremos a una ecuación de segundo grado completa. ✅ 15 ejercicios resueltos como ejemplo ➕ PDF.
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