Ecuaciones de segundo grado completas - Ejercicios resueltos

Ecuaciones de segundo grado completas

1. Introducción a las ecuaciones de segundo grado

1.1. Definición y características básicas de las ecuaciones de segundo grado.

Las ecuaciones de segundo grado, también conocidas como ecuaciones cuadráticas, son una categoría fundamental en el ámbito de las matemáticas. Estas ecuaciones se caracterizan por contener términos elevados al cuadrado (exponente 2), y su forma general se expresa con ax^2+bx+c=0 donde a, b y c son coeficientes numéricos y x es la variable que buscamos resolver.

Las características básicas de las ecuaciones de segundo grado son las siguientes:

  1. Grado de la Ecuación: Las ecuaciones de segundo grado son llamadas así debido a que el exponente más alto que aparece en la ecuación es 2. Esto implica que las soluciones pueden ser números reales o complejos, dependiendo del valor del discriminante.
  2. Coeficientes: En la forma general ax^2+bx+c = 0, a, b y c son coeficientes numéricos. El coeficiente a no puede ser igual a cero, ya que si lo fuera, la ecuación se reduciría a una de primer grado.
  3. Soluciones: Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una solución doble (doble raíz) o ninguna solución real, dependiendo del valor del discriminante b^2-4ac.
  4. Discriminante: El discriminante, b^2-4ac, juega un papel fundamental en la naturaleza de las soluciones. Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Si es igual a cero, la ecuación tiene una solución doble. Si es negativo, las soluciones son complejas (imaginarias conjugadas).
  5. Representación gráfica: Las ecuaciones de segundo grado representan parábolas en un sistema de coordenadas cartesianas. La concavidad de la parábola depende del signo de a: si a>0 la parábola es convexa y si a<0 será cóncava. Los puntos de intersección con el eje X (eje de abcisas) son las soluciones de la ecuación.

El entendimiento de estas definiciones y características básicas sienta las bases para el estudio y la resolución de ecuaciones de segundo grado, proporcionando las herramientas necesarias para abordar problemas matemáticos y aplicaciones prácticas en diversas áreas.

1.2. Importancia y aplicaciones en la vida cotidiana y en la ciencia.

Las ecuaciones de segundo grado, a pesar de su aparente complejidad matemática, desempeñan un papel esencial tanto en situaciones cotidianas como en la investigación científica. Su relevancia radica en su capacidad para modelar una amplia gama de fenómenos y problemas del mundo real. A continuación, exploraremos algunas de las aplicaciones más destacadas de estas ecuaciones:

  1. Física y Ciencias Naturales: Las ecuaciones de segundo grado son fundamentales en la física para describir el movimiento de objetos en caída libre, la trayectoria de proyectiles y la dinámica de sistemas mecánicos. Además, se utilizan para modelar fenómenos como el lanzamiento de cohetes y la predicción de trayectorias de planetas y satélites.
  2. Ingeniería y Tecnología: En campos como la ingeniería civil, las ecuaciones de segundo grado se aplican para analizar la resistencia de materiales y diseñar estructuras seguras. En la electrónica y la ingeniería eléctrica, estas ecuaciones se utilizan para describir circuitos y sistemas de control.
  3. Economía y Finanzas: En el ámbito económico, las ecuaciones de segundo grado pueden modelar situaciones financieras como la depreciación de activos, los cálculos de interés compuesto y la proyección de crecimiento económico.
  4. Biología y Ciencias de la Salud: En la biología, estas ecuaciones son útiles para modelar el crecimiento de poblaciones y la propagación de enfermedades. También se aplican en la medicina para analizar el comportamiento de ciertas sustancias en el cuerpo y prever reacciones químicas.
  5. Geometría y Diseño: Las ecuaciones de segundo grado son esenciales en la geometría analítica para describir y analizar las propiedades de curvas cónicas como las parábolas, elipses e hipérbolas. Además, se utilizan en el diseño de objetos y estructuras con formas específicas.
  6. Estadísticas y Modelado: En análisis de datos y estadísticas, las ecuaciones de segundo grado se utilizan para ajustar curvas a conjuntos de datos y realizar predicciones basadas en tendencias.
  7. Educación y Resolución de Problemas: Estas ecuaciones también tienen un papel pedagógico, ya que ayudan a los estudiantes a desarrollar habilidades de resolución de problemas y pensamiento crítico. Además, su comprensión es crucial para avanzar en matemáticas y en otras disciplinas.

2. Forma general de una ecuación de segundo grado completa

2.1. Forma General de una Ecuación de Segundo Grado Completa

Las ecuaciones de segundo grado desempeñan un papel fundamental en las matemáticas y tienen una estructura específica que las define. En su forma general, una ecuación de segundo grado completa se expresa como:

ax^2+bx+c = 0

Donde:

  • a, b y c son coeficientes numéricos, y a no puede ser igual a cero.
  • x es la variable desconocida que estamos tratando de resolver. Otras veces se usan otras letras para representar la incógnita como y y t.

Esta forma general encapsula la naturaleza fundamental de las ecuaciones de segundo grado y permite aplicar métodos específicos para encontrar sus soluciones.

2.2 Significado y Función de los Coeficientes a, b y c en la Ecuación

En una ecuación de segundo grado los coeficientes a, b y c desempeñan papeles específicos que influyen en la forma y el comportamiento de la ecuación, así como en las soluciones que ofrece. Comprender el significado de estos coeficientes es esencial para interpretar y resolver adecuadamente ecuaciones de segundo grado.

2.2.1. Coeficiente a

El coeficiente a es el factor que multiplica el término cuadrático x^2. Su valor determina la concavidad y la dirección de apertura de la parábola que representa la ecuación. Las principales interpretaciones del coeficiente a son:

  • Si a > 0: La parábola abre hacia arriba (convexa), lo que significa que su vértice está en el punto más bajo. Esto suele ocurrir en ecuaciones que modelan situaciones de crecimiento, como el lanzamiento de un proyectil o el aumento de poblaciones.
  • Si a < 0: La parábola abre hacia abajo (cóncava), y su vértice está en el punto más alto. Este caso es común en ecuaciones que describen situaciones de decrecimiento, como la caída libre de un objeto o la disminución de poblaciones.

2.2.2. Coeficiente b

El coeficiente b multiplica el término lineal x en la ecuación. Su valor influye en la posición horizontal de la parábola y afecta su simetría. Algunas interpretaciones clave del coeficiente b son:

  • Si b > 0: La parábola se desplaza hacia la izquierda en el plano cartesiano. En el contexto de problemas prácticos, esto podría indicar un cambio en la variable independiente que afecta el fenómeno modelado.
  • Si b < 0: La parábola se desplaza hacia la derecha. Este cambio horizontal puede reflejar ajustes en las condiciones iniciales o factores externos que influyen en la situación.

2.2.3. Coeficiente c

El coeficiente c es el término independiente o constante en la ecuación. Define la posición vertical de la parábola en el plano cartesiano y afecta dónde corta el eje Y. Algunas consideraciones importantes sobre el coeficiente c son:

– Si c > 0 o c < 0: Esto determina si la parábola está completamente arriba o abajo del eje x. Es decir, afecta la altura a la que comienza o termina el fenómeno que se está modelando.

En resumen,

  • El coeficiente a es el coeficiente del término cuadrático (x^2). Su valor influye en la concavidad de la parábola que representa la ecuación y determina si la parábola se abre hacia arriba (si a > 0) o hacia abajo (si a < 0).
  • El coeficiente b es el coeficiente del término lineal (x). Contribuye a la posición horizontal de la parábola y afecta la simetría de la misma.
  • El coeficiente c es el término constante. Define la posición vertical de la parábola en el plano cartesiano.

3. Métodos para resolver ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse utilizando varios métodos, cada uno de los cuales es útil en diferentes situaciones. Los métodos principales incluyen la factorización, la fórmula cuadrática y el completado del cuadrado.

3.1. Factorización: Cómo identificar y resolver

La factorización es un enfoque poderoso para resolver ecuaciones de segundo grado cuando es posible expresar la ecuación como el producto de dos binomios. Los pasos clave para resolver mediante factorización son:

  1. Identificar patrones: Buscar si los coeficientes a, b y c permiten factorizar la ecuación en dos binomios que se multiplican para dar la ecuación original.
  2. Factorizar: Desarrollar la factorización y establecer cada binomio igual a cero. Hay varios métodos adecuados para factorizar: método de Ruffini, sacar factor común, usar las expresiones notables…
  3. Resolver: Resolver las ecuaciones lineales resultantes para encontrar las soluciones.

3.2. Fórmula Cuadrática: una herramienta poderosa

La fórmula cuadrática es una fórmula general que proporciona las soluciones de cualquier ecuación cuadrática ax^2+bx+c = 0. La fórmula es:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

donde:

– a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

– El signo \pm indica que hay dos soluciones posibles: una suma y una resta.

3.3. Completado del Cuadrado: Convertir en Forma Cuadrática

El método de completado del cuadrado es una técnica utilizada para convertir una ecuación cuadrática en su forma cuadrática perfecta, lo que facilita la resolución de la ecuación. Aquí está la explicación paso a paso:

  1. Dividir por a: Si el coeficiente a en la ecuación ax^2+bx+c = 0 no es igual a 1, divide todos los términos de la ecuación por a para simplificarla. Esto garantiza que el coeficiente principal del término cuadrático sea 1.
  2. Mover la constante c: Resta \frac{c}{a} de ambos lados de la ecuación para que el lado derecho sea igual a cero. La ecuación se transforma en: x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
  3. Completar el cuadrado: Ahora, el objetivo es expresar el lado izquierdo de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Para lograrlo, añade y resta \left (\frac{b}{2a} \right )^2 al lado izquierdo de la ecuación. Esta adición y sustracción no cambian la ecuación, sino que ajustan su forma:

x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}

  1. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto: El trinomio cuadrado perfecto es \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2, por lo que podemos reescribir el lado izquierdo de la ecuación como:

\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}

  1. Resolver: Despeja x resolviendo la ecuación resultante. Para ello, añade o resta \left (\frac{b}{2a} \right )^2 a ambos lados de la ecuación para aislar el término \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 en un lado. Luego, toma la raíz cuadrada de ambos lados para deshacerte del cuadrado. Finalmente, resuelve para x.

Este proceso te llevará a una ecuación de la forma (x+\frac{b}{2a})^2 = q, que será más fácil de resolver. Al despejar x, obtendrás las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

El método de completar el cuadrado puede parecer complicado al principio, pero es una herramienta valiosa para resolver ecuaciones cuadráticas, especialmente cuando la factorización o la fórmula cuadrática no son convenientes. Practicar este método te ayudará a comprender mejor su aplicación y a ganar confianza en su uso.

4. Ejercicios resueltos paso a paso

En esta sección, exploraremos ejemplos concretos de ecuaciones de segundo grado que tienen soluciones enteras o racionales. Resolveremos estos ejercicios utilizando los métodos discutidos previamente: factorización, fórmula cuadrática y completado del cuadrado.

4.1. Ejercicio 1: Resolución de una ecuación de segundo grado por factorización

Ecuación: x^2+5x+6 = 0

Solución:

  1. Factorizamos la ecuación: (x+3)\cdot(x+2) = 0.
  2. Igualamos cada factor igual a cero: x+3 = 0 y x+2 = 0.
  3. Resolvemos para x cada una de las dos ecuaciones: x = -3 y x = -2.

1.2. Ejercicio 2: Aplicación de la fórmula cuadrática a una ecuación completa.

Ecuación: 3x^2+4x-4 = 0

Solución:

  1. Aplicamos la fórmula cuadrática: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
  2. Sustituimos los coeficientes a = 3, b = 4 y c = -4 en la fórmula.
  3. Opcional: calculamos el discriminante: b^2-4ac = 4^2-4 \cdot 3 \cdot (-4) = 64.
  4. Como el discriminante es positivo, hay soluciones reales.
  5. Calculamos las soluciones: x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3}.
  6. Simplificamos: x = \frac{-4 \pm 8}{6}.

Las soluciones racionales de la ecuación son x = \frac{1}{3} y x = -2.

1.3. Ejercicio 3: Resolución utilizando el método de completar el cuadrado.

Ecuación: x^2-6x+8 = 0

Solución:

  1. Completamos el cuadrado: x^2-6x+9-9+8 = 0.
  2. Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto: (x-3)^2-1 = 0.
  3. Resolvemos para x: (x-3)^2 = 1 \rightarrow x-3 = \pm 1 \rightarrow x = 4 y x = 2.

Estos ejemplos ilustran cómo aplicar los métodos de factorización, fórmula cuadrática y completado del cuadrado para resolver ecuaciones de segundo grado con soluciones enteras o racionales. Dependiendo de las características de la ecuación, uno de estos métodos puede ser más conveniente y eficiente para llegar a las soluciones deseadas. Después te dejaré más ejercicios resueltos paso a paso para que queden más claros los pasos intermedios.

5. Consideraciones especiales y casos particulares

Al trabajar con ecuaciones de segundo grado, es importante considerar ciertos aspectos y casos particulares que pueden influir en la naturaleza de las soluciones y en cómo abordamos la resolución de estas ecuaciones.

5.1. Discriminante: Su significado y cómo determina la naturaleza de las soluciones.

El discriminante b^2-4ac es una cantidad clave en las ecuaciones cuadráticas. Determina la naturaleza de las soluciones y proporciona información sobre cómo se cruzan o tocan las raíces en el plano cartesiano. Los posibles escenarios son:

  • Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
  • Si el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales (una raíz doble).
  • Si el discriminante es negativo, la ecuación tiene dos soluciones complejas o imaginarias, que se presentan como pares conjugados.

5.2. Soluciones imaginarias: Explicación de cómo y por qué pueden surgir soluciones complejas.

Las soluciones imaginarias surgen cuando el discriminante es negativo. En matemáticas, se denotan por i, donde i^2 = -1. Las soluciones imaginarias son esenciales para completar el conjunto de soluciones de una ecuación cuadrática. Estas soluciones se utilizan en campos como la física, la ingeniería y las ciencias aplicadas.

5.3. Ecuaciones factorizables: Identificación de patrones para facilitar la factorización.

Algunas ecuaciones de segundo grado se pueden factorizar en términos más simples, lo que facilita su resolución. Identificar patrones y relaciones entre los coeficientes a, b y c puede ser útil para factorizar ecuaciones de manera eficiente. Por ejemplo, en ecuaciones donde c es el producto de dos números que suman o restan b, la factorización puede ser una estrategia efectiva.

Considerar estos aspectos y casos particulares amplía nuestra comprensión de las ecuaciones cuadráticas y nos brinda herramientas para abordar diferentes tipos de problemas. Estos conceptos son esenciales para resolver ecuaciones de segundo grado de manera precisa y para interpretar las soluciones en su contexto.

Ejemplo resuelto 1

Ecuación: 2x^2-7x-15 = 0

Solución:

  1. Intentamos factorizar la ecuación en dos binomios: (x-a)(x-b) = 0, donde a y b son los valores que buscamos.
  2. Buscamos dos números a y b que cumplan dos condiciones:
    • La suma de a y b debe ser igual al coeficiente lineal (-7): a+b = -7.
    • El producto de a y b debe ser igual al producto del coeficiente principal y el término constante (2 \cdot \left (-15 \right ) = -30): a \cdot b = -30.
  1. Encontramos que a = -10 y b = 3 cumplen ambas condiciones.
  2. Escribimos la factorización: (x-(-10))(x-3) = (x+10)(x-3) = 0.
  3. Establecemos cada factor igual a cero: x+10 = 0 y x-3 = 0.
  4. Resolvemos para x: x = -10 y x = 3.

Ejemplo resuelto 2

Ecuación: x^2+6x+8 = 0

Solución:

  1. Intentamos factorizar la ecuación en dos binomios: (x-a)(x-b) = 0, donde a y b son los valores que buscamos.
  2. Buscamos dos números a y b que cumplan dos condiciones:
    •  La suma de a y b debe ser igual al coeficiente lineal (6): a+b = 6.
    •  El producto de a y b debe ser igual al término constante (8): a \cdot b = 8.
  1. Encontramos que a = 2 y b = 4 cumplen ambas condiciones.
  2. Escribimos la factorización: (x-2)(x-4) = 0.
  3. Establecemos cada factor igual a cero: x-2 = 0 y x-4 = 0.
  4. Resolvemos para x: x = 2 y x = 4.

En este ejemplo, nuevamente identificamos los valores de a y b que permiten factorizar la ecuación x^2+6x+8 = 0. Al factorizar la ecuación, pudimos encontrar las soluciones enteras de manera directa. La capacidad para reconocer patrones y relaciones entre los coeficientes en ecuaciones cuadráticas es una herramienta valiosa que simplifica la resolución y nos brinda soluciones rápidas y precisas.

 

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Ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado completas

En  2º de ESO, se trabaja en profundidad el tema de las de ecuaciones de segundo grado. En este apartado, te muestro varios ejercicios resueltos paso a paso para que puedas practicar en casa.

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 1

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

x^2-x-2=0

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 1

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa: x^2-x-2=0

En primer lugar vamos a emparejar los coeficientes de la ecuación:

\begin{aligned} a&=1\\ b&=-1\\ c&=-2 \end{aligned}

Vamos a utilizar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para despejar la incógnita, ya que no necesitamos simplificar, ni colocar los términos en su lugar. La ecuación es sencilla y todo está simplificado y en su lugar.

Sustituimos las letras por sus valores:

\begin{aligned} x=\dfrac{+1\pm \sqrt{1-4\cdot 1\cdot \left( -2\right) }}{2\left( 1\right) }\\ \end{aligned}

Realizamos las operaciones indicadas en el discriminante y el denominador.

\begin{aligned} x=\dfrac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\ x=\dfrac{+1\pm \sqrt{9}}{2}\\ \end{aligned}

Como el discriminante es mayor que 0 \left (\Delta > 0 \right ), la ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones dentro del conjunto de los números reales (\mathbb{R}).

\begin{aligned} \begin{cases}x_{1}=\dfrac{+1+3}{2}=\dfrac{4}{2}\rightarrow {\color{Red} x_{1}=2}\\ x_{2}=\dfrac{+1-3}{2}=\dfrac{-2}{2}\rightarrow {\color{Red} x_{2}=-1}\end{cases} \end{aligned}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 3

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

2x^2+3x+5=0

(Ecuaciones de segundo grado completas – Ejercicios resueltos – Ecuación sin soluciones reales)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 3

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa: \begin{aligned} 2x^{2}+3x+5=0\\ \end{aligned}

En primer lugar, vamos a identificar los coeficientes de los términos de la ecuación completa de segundo grado:

\begin{aligned} 2x^{2}+3x+5=0\\ \begin{cases}a=2\\ b=3\\ c=5\end{cases}\\ \end{aligned}

Vamos a utilizar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para despejar la incógnita, ya que no necesitamos simplificar, ni colocar los términos en su lugar. La ecuación es sencilla y todo está simplificado y en su lugar.

Sustituimos las letras por sus valores:

\begin{aligned} x=\dfrac{-3\pm \sqrt{9-4\left( 2\right) \left( 5\right) }}{2\left( 2\right) }\\ \end{aligned}

Realizamos las operaciones indicadas en el discriminante y el denominador.

\begin{aligned} x&=\dfrac{-3\pm \sqrt{9-40}}{4}\\ x&=\dfrac{-3\pm \sqrt{-31}}{4}\\ \end{aligned}

Como el discriminante es menor que 0 \left ( \Delta <0 \right ), la ecuación de segundo grado no tiene solución en el conjunto de los números reales (\mathbb{R}). Sí que tiene solución dentro de los números imaginarios, pero esta entrada del blog está pensada principalmente para alumnado de 2º y 3º de ESO donde los números imaginarios no son parte del temario.

\begin{aligned} \Delta <0\\ {\color{Red} x\notin \mathbb{R}} \end{aligned}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 5

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

\begin{aligned} 15x^{2}-4x=3\\ \end{aligned}

(Ecuaciones de segundo grado completas – Ejercicio resuelto con dos soluciones racionales (fracciones))

Solución ejercicio resuelto de ecuaciones de segundo grado completas 5

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa: 

\begin{aligned} 15x^{2}-4x=3\\ \end{aligned}

Si te fijas, la ecuación no tiene la forma general de las ecuaciones de segundo grado ax^2+bx+c=0, ya que el miembro de la derecha no es igual a cero. Para solucionar esto, restamos 3 en los dos miembros de la ecuación aplicando la regla de la suma (criterios de equivalencia de las ecuaciones).

\begin{aligned} 15x^{2}-4x=3\\ 15x^2-4x{\color{Teal} -3}=3{\color{Teal} -3}\\ 15x^{2}-4x-3=0\\ \end{aligned}

A continuación, vamos a emparejar los coeficientes de la ecuación:

\begin{aligned} \begin{cases}a=15\\ b=-4\\ c=-3\end{cases}\\ \end{aligned}

Vamos a utilizar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para despejar la incógnita. Podemos usarla, gracias a que hemos colocado y simplificado la ecuación en su formulación original para dejarla escrita en la forma general.

Sustituimos las letras por sus valores:

\begin{aligned} x=\dfrac{4\pm \sqrt{16-4\left( 15\right) \cdot \left( -3\right) }}{2\left( 15\right) }\\ \end{aligned}

Realizamos las operaciones indicadas en el discriminante y el denominador.

\begin{aligned} x&=\dfrac{4\pm \sqrt{16+180}}{30}\\ x&=\dfrac{4\pm \sqrt{196}}{30}\\ x&=\dfrac{4\pm 14}{30}\\ \end{aligned}

Como el discriminante es mayor que 0 \left (\Delta > 0 \right ), la ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones dentro del conjunto de los números reales (\mathbb{R}).

\begin{cases}x_{1}=\dfrac{4+14}{30}\rightarrow x_{1}=\dfrac{18}{30}\rightarrow {\color{Red} x_{1}=\dfrac{3}{5}}\\ x_{2}=\dfrac{4-14}{30}\rightarrow x_{2}=\dfrac{-10}{30}\rightarrow {\color{Red} x_{2}=-\dfrac{1}{3}}\end{cases}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 7

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

\begin{aligned} x^{2}-\dfrac{17}{6}x-\dfrac{1}{2}=0\\ \end{aligned}

(Ecuaciones de segundo grado completas – Ejercicio resuelto con denominadores en los coeficientes)

Solución ejercicio resuelto de ecuaciones de segundo grado completas 7

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

\begin{aligned} x^{2}-\dfrac{17}{6}x-\dfrac{1}{2}=0\\ \end{aligned}

En este ejemplo, el número siete de nuestro blog, los coeficientes son números racionales, es decir, fracciones. Podemos trabajar con ellas o podemos intentar simplificar y eliminarlas. Para ello vamos a utilizar la regla del producto y multiplicar los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los dos denominadores, que en este caso, es seis.

\begin{aligned} x^{2}-\dfrac{17}{6}x-\dfrac{1}{2}=0\\ \left[ x^{2}-\dfrac{17}{6}x-\dfrac{1}{2}\right] {\color{Red} \cdot 6}=0{\color{Red} {\color{Red} \cdot 6}}\\ {\color{Red} 6\cdot} x^{2}-\dfrac{17{\color{Red} \cdot 6}}{6}x-\dfrac{1{\color{Red} \cdot 6}}{2}=0\\ 6x^{2}-17x-3=0\\ \end{aligned}

Una vez que tengo una ecuación en su forma general, podemos utilizar la fórmula. Como siempre, vamos a identificar primero los coeficientes

\begin{aligned} \begin{cases}a=6\\ b=-17\\ c=-3\end{cases}\\ \end{aligned}

Sustituimos dichos coeficientes en la fórmula general.

\begin{aligned} x=\dfrac{17\pm \sqrt{289-4\cdot 6\cdot \left( -3\right) }}{2\cdot 6}\\ \end{aligned}

Realizamos las operaciones indicadas en el discriminante y el denominador. 

\begin{aligned} x&=\dfrac{17\pm \sqrt{289+72}}{12}\\ x&=\dfrac{17\pm \sqrt{361}}{12}\\ x&=\dfrac{17\pm 19}{12}\\ \end{aligned}

Como el discriminante es mayor que 0 \left (\Delta > 0 \right ), la ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones dentro del conjunto de los números reales (\mathbb{R}).

\begin{aligned} \begin{cases}x_{1}=\dfrac{17+19}{12}\rightarrow x_{1}=\dfrac{36}{12}\rightarrow {\color{Red} x_{1}=3}\\ x_{2}=\dfrac{17-19}{12}\rightarrow x_{2}=\dfrac{-2}{12}\rightarrow {\color{Red} x_{2}=-\dfrac{1}{6}}\end{cases} \end{aligned}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 2

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

\begin{aligned} x^{2}+8x+16=0\\ \end{aligned}

(Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado completas – LeccionesDeMates.com)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 2

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa: \begin{aligned} x^{2}+8x+16=0\\ \end{aligned}

En primer lugar vamos a emparejar los coeficientes de la ecuación:

\begin{aligned} x^{2}+8x+16=0\\ \begin{cases}a=1\\ b=8\\ c=16\end{cases}\\ \end{aligned}

Vamos a utilizar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para despejar la incógnita, ya que no necesitamos simplificar, ni colocar los términos en su lugar. La ecuación es sencilla y todo está simplificado y en su lugar.

Sustituimos las letras por sus valores:

\begin{aligned} x=\dfrac{-8\pm \sqrt{64-4\cdot \left( 1\right)\cdot 16 }}{2\left( 1\right) }\\ \end{aligned}

Realizamos las operaciones indicadas en el discriminante y el denominador.

\begin{aligned} x=\dfrac{-8\pm \sqrt{64-64}}{2}\\ x=\dfrac{-8\pm 0}{2}\\ \end{aligned}

Como el discriminante es cero \left (\Delta = 0 \right ), la ecuación de segundo grado tendrá una única solución. Se dice que dicha solución es una raíz doble.

\begin{aligned} \Delta =0\\ x=\dfrac{-8}{2}\\ {\color{Red} x=-4} \end{aligned}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 4

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

2x^2+x-1=0

(Ecuaciones de segundo grado completas con una solución entera y otra racional – Ejercicios resueltos).

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 4

Ecuación de segundo grado completa: 2x^2 + x - 1 = 0

Paso 1: Identificar los coeficientes a, b y c:

\begin{cases}a=2\\ b=1\\ c=-1\end{cases}

Paso 2: Aplicar la fórmula cuadrática: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Sustituyendo los valores de los coeficientes:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}

Paso 3: Calcular el discriminante \Delta = b^2-4ac:

\Delta = 1^2-4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1+8 = 9

Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos soluciones.

Paso 4: Sustituir el discriminante en la fórmula cuadrática:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}

Paso 5: Calcular las soluciones:

x = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} \rightarrow {\color{Red} x_1= \frac{1}{2}}

x = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} \rightarrow {\color{Red} x_2= -1}

Recuerda que la fórmula cuadrática es una herramienta muy útil para resolver ecuaciones de segundo grado completas, pero puede haber casos donde otras técnicas, como la factorización o el completado del cuadrado, sean más eficientes.

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 6

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

\begin{aligned} 15x^{2}-4x=3\\ \end{aligned}

(Ecuaciones de segundo grado completas – Ejercicio resuelto con dos soluciones irracionales)

Solución ejercicio resuelto de ecuaciones de segundo grado completas 6

Resuelve esta ecuación de segundo grado completa:

\begin{aligned} x^{2}+3x-7=0.\\ \end{aligned}

Como la ecuación está en su forma general (ax^2+bx+c=0) podemos aplicar la fórmula.

Primero, vamos a emparejar los coeficientes de la ecuación:

\begin{aligned} x^{2}+3x-7=0.\\ \begin{cases}a=1\\ b=3\\ c=-7\end{cases}\\ \end{aligned}

Vamos a utilizar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para despejar la incógnita.

Sustituimos las letras por sus valores:

\begin{aligned} x=\dfrac{-3\pm \sqrt{9-4\cdot \left( 1\right) \cdot \left( -7\right) }}{2\cdot \left( 1\right) }\\ \end{aligned}

Realizamos las operaciones indicadas en el discriminante y el denominador.

\begin{aligned} x&=\dfrac{-3\pm \sqrt{9+28}}{2}\\ x&=\dfrac{-3\pm \sqrt{37}}{2}\\ \end{aligned}

Como el discriminante es mayor que 0 \left (\Delta > 0 \right ), la ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones dentro del conjunto de los números reales (\mathbb{R}). Sin embargo, la raíz de 37 no sale exacta, por lo que las dos soluciones son números irracionales.

\begin{aligned} \begin{cases}{\color{Red} x_{1}=\dfrac{-3+\sqrt{37}}{2}}\\ {\color{Red} x_{2}=\dfrac{-3-\sqrt{37}}{2}}\end{cases} \end{aligned}

Origen de los problemas

Estos problemas resueltos con ecuaciones con temática de Geometría están tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generación de la editorial SM, así como ejercicios de cosecha propia. Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

Problemas ecuaciones y Geometría
Ecuaciones de grado 2 incompletas
Resumen
â–· Ecuaciones de segundo grado completas - Ejercicios resueltos
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â–· Ecuaciones de segundo grado completas - Ejercicios resueltos
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👉 Domina las ecuaciones de segundo grado completas y practica con varios ejercicios resueltos que te propongo. ✅ Incluye explicación en vídeo. ¡¡Tú puedes!!
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