Ecuaciones de segundo grado incompletas - Ejercicios resueltos

Ecuaciones de segundo grado incompletas

1.    Introducción a las Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

Dentro del ámbito de las ecuaciones de segundo grado, encontramos una categoría especial denominada “ecuaciones de segundo grado incompletas”. Estas ecuaciones se caracterizan por la ausencia de ciertos términos en comparación con las ecuaciones de segundo grado completas. En este artículo, nos enfocaremos en los tres tipos fundamentales de ecuaciones de segundo grado incompletas, cada uno con sus propias peculiaridades. Después, te dejaré varios ejercicios resueltos para que practiques las ecuaciones de segundo grado incompletas.

2. Tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas

2.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas sin término lineal

En esta categoría de ecuaciones de segundo grado incompletas, el término lineal (bx) está ausente en la ecuación. La forma general de este tipo de ecuaciones es ax^2 + c = 0, donde a y c son coeficientes constantes.

El coeficiente a desempeña un papel fundamental en estas ecuaciones. Define la concavidad de la parábola resultante: si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba, mientras que si a es negativo, se abre hacia abajo. Las soluciones de esta ecuación son los valores de x que satisfacen la igualdad ax^2 + c = 0, lo que nos permite encontrar los puntos en los que la parábola interseca el eje de abscisas (X).

Este tipo de ecuaciones incompletas se resuelven de forma parecida a las ecuaciones de primer grado. Más abajo veremos ejemplos resueltos.

2.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas sin término independiente o constante

En esta categoría de ecuaciones de segundo grado incompletas, el término constante (c) está ausente en la ecuación. La forma general de este tipo de ecuaciones es ax^2 + bx = 0, donde a y b son coeficientes constantes.

El coeficiente a en estas ecuaciones sigue definiendo la concavidad de la parábola resultante, mientras que el coeficiente b afecta directamente a la posición de la parábola en el plano. Las soluciones de esta ecuación son los valores de x que cumplen con la igualdad ax^2 + bx = 0, lo que nos permite identificar los puntos en los que la parábola intersecta el eje x.

Para resolver este tipo de ecuaciones, sacaremos factor común para factorizar y obtendremos dos ecuaciones de primer grado muy sencillas.

2.3. Caso particular: b y c son nulos

Este tipo de ecuaciones son del estilo ax^2=0. Se resuelven dividiendo la ecuación por el término a y siempre tienen una solución igual al cero.

3. Ejemplos resueltos

En esta sección, aplicaremos los métodos de resolución discutidos a través de ejemplos concretos de ecuaciones de segundo grado incompletas. Exploraremos casos representativos de los tres tipos de ecuaciones: sin término lineal, sin término constante y sin términos lineal ni constante. Veamos cómo se abordan estas situaciones:

Ejemplo 1: Ecuación sin término lineal

Resolvamos la ecuación 2x^2 - 8 = 0

  1. Identificamos a = 2 y c = -8.
  2. Despejamos la incógnita x dividiendo ambos lados de la ecuación por a:

2x^2 - 8 = 0 \implies x^2 = 4

  1. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar las soluciones:

x = \pm \sqrt{4}

  1. Obtenemos las soluciones: x_1=+2 y x_2 = -2.

Ejemplo 2: Ecuación sin término independiente

Resolvamos la ecuación 3x^2 - 5x = 0

  1. Identificamos a = 3 y b = -5.
  2. Factorizamos la ecuación sacando factor común la x: 3x^2 - 5x = 0\rightarrow x(3x - 5)=0
  3. Obtenemos dos ecuaciones de grado 1 igualando los factores a cero, ya que un producto es cero si alguno de sus factores lo es \left \{ \begin{matrix} x&=0\\ 3x-5&=0 \end{matrix} \right.
  4. Obtenemos las soluciones de estas ecuaciones que coinciden con las soluciones de nuestra ecuación: x_1 = 0 y x_2 = \frac{5}{3} que son las soluciones de nuestra ecuación.

Ejemplo 3: Ecuación sin Términos Lineal ni independiente

Resolvamos la ecuación 4x^2 = 0

  1. Dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente a = 4:

\frac{4x^2}{4} = \frac{0}{4} \implies x^2 = 0

  1. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar las soluciones:

x = \pm \sqrt{0}

  1. Dado que la raíz cuadrada de 0 es 0, las soluciones son: x = 0.

Ejemplo 4: Ecuación sin soluciones reales

Consideremos la ecuación 3x^2 + 9 = 0

  1. Identificamos a = 3 y c = 9.
  2. Despejamos la incógnita x dividiendo ambos lados de la ecuación por a:

3x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = -3

   Tomamos la raíz cuadrada en ambos lados (recuerda que estamos buscando soluciones reales):

x = \pm \sqrt{-3}

  1. Dado que no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales, esta ecuación no tiene soluciones reales \left (x \notin \mathbb{R} \right ).

En este ejemplo, hemos visto por qué no todas las ecuaciones de segundo grado incompletas tienen soluciones reales y cómo el valor negativo bajo la raíz cuadrada es indicativo de soluciones complejas.

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Ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado incompletas

En  2º de ESO, se trabaja en profundidad el tema de las de ecuaciones de segundo grado incompletas y completas. En este apartado, te muestro varios ejercicios resueltos paso a paso para que puedas practicar en casa.

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 1

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} 9x^{2}-2=0\\ \end{aligned}

(Ecuaciones de segundo grado incompletas РEjercicios resueltos donde falta el t̩rmino lineal bx)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 1

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta: 

\begin{aligned} 9x^{2}-2=0\\ \end{aligned}

Vamos a despejar la incógnita. Para ello, aislamos el término cuadrático en un miembro y llevamos el término independiente (sin incógnita) al otro miembro aplicando la regla de la suma.

\begin{aligned} 9x^{2}-2{\color{Red} +2}=0{\color{Red} +2}\\ 9x^{2}=2\\ \end{aligned}

Dividimos la ecuación entre el coeficiente de la incógnita (9 en este caso) para despejarla.

\begin{aligned} \dfrac{9x^{2}}{{\color{Red} 9}}=\dfrac{2}{{\color{Red} 9}}\\ x^{2}=\dfrac{2}{9}\\ \end{aligned}

Hacemos la raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación.

\begin{aligned} \sqrt{x^{2}}=\sqrt{\dfrac{2}{9}}\\ \end{aligned}

Recuerda que \begin{aligned} \sqrt{x^{2}}=\left | x \right |\\ \end{aligned}, por tanto,

\begin{aligned} \sqrt{x^{2}}=\sqrt{\dfrac{2}{9}}\\ \left | x \right |=\sqrt{\dfrac{2}{9}}\\ \end{aligned}

Como la incógnita está encerrada dentro del valor absoluto y la raíz de la derecha es positiva, nos valen los dos valores de x, es decir, +x y -x. De ahí el signo \pm delante de la raíz.

\begin{aligned} x=\pm \sqrt{\dfrac{2}{9}}\\ \end{aligned}

Para calcular la raíz de una fracción, se puede calcular la raíz del numerado y denominador por separado.

\begin{aligned} x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}\\ \end{aligned}

Podemos simplificar el denominador.

\begin{aligned} x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{3}\\ \end{aligned}

También podemos expresar las dos soluciones de la siguiente forma.

\begin{aligned} \begin{cases}{\color{Red} x_{1}=+\dfrac{\sqrt{2}}{3}}\\ {\color{Red} x_{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}}\end{cases} \end{aligned}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 3

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} 2x^{2}=0\\ \end{aligned}

(Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado incompletas – Ejercicios resueltos donde faltan el término lineal y el independiente – LeccionesDeMates.com)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 3

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta: \begin{aligned} 2x^{2}=0\\ \end{aligned}

Para quitar el coeficiente a, dividimos la ecuación entre el valor de a.

\begin{aligned} \dfrac{2x^{2}}{{\color{Red} 2}}=\dfrac{0}{{\color{Red} 2}}\\ x^{2}=0\\ \end{aligned}

Hacemos la raíz cuadrada en los dos miembros.

\begin{aligned} \sqrt{x^{2}}=\sqrt{0}\\ \left| x\right| =0\\ \end{aligned}

El único número cuyo valor absoluto es cero es el propio cero.

\begin{aligned} {\color{Red} x=0} \end{aligned}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 5

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} 3x^{2}=4x\\ \end{aligned}

(Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado incompletas РEjercicios resueltos donde falta el t̩rmino independiente c РLeccionesDeMates.com)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 5

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta: \begin{aligned} 3x^{2}=4x\\ \end{aligned}

El término lineal no está en su lugar, por lo que usaremos la regla de la suma para colocarlo adecuadamente.

\begin{aligned} 3x^{2}{\color{Red} -4x}&=4x{\color{Red} -4x}\\ 3x^{2}-4x&=0\\ \end{aligned}

Sacamos factor común en el miembro de la izquierda.

\begin{aligned} 3\cdot {\color{Red} x \cdot x}-4{\color{Red} \cdot x}=0\\ {\color{Red} x\cdot} \left( 3x-4\right) =0\\ \end{aligned}

Tenemos un producto a la izquierda que da de resultado cero. Esto quiere decir que alguno de los factores debe valer cero. Para ver cuándo se anula cada uno, montamos dos ecuaciones (en color azul), pero de primer grado. Las soluciones de estas ecuación (en rojo) serán las soluciones de la ecuación de segundo grado

\begin{aligned} \begin{cases}{\color{Blue} x=0}\rightarrow {\color{Red} x_{1}=0}\\ {\color{Blue} 3x-4=0}\rightarrow 3x=4\rightarrow {\color{Red} x_{2}=\dfrac{4}{3}}\end{cases} \end{aligned}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 7

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} \dfrac{1}{2}x^{2}-18=0\\ \end{aligned}

(Ecuaciones de segundo grado incompletas РEjercicios resueltos donde falta el t̩rmino lineal bx)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 7

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} \dfrac{1}{2}x^{2}-18=0\\ \end{aligned}

Para quitar fracciones, multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores.

\begin{aligned} {\color{Red} 2\cdot} \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}-18\right] ={\color{Red} 2\cdot} 0\\ \dfrac{{\color{Red} 2\cdot} 1}{2}x^{2}-{\color{Red} 2\cdot} 18=0\\ x^{2}-36=0\\ \end{aligned}

Vamos a despejar la incógnita. Para ello, aislamos el término cuadrático en un miembro y llevamos el término independiente (sin incógnita) al otro miembro aplicando la regla de la suma.

\begin{aligned} x^{2}-36{\color{Red} +36}=0{\color{Red} +36}\\ x^{2}=36\\ \end{aligned}

Hacemos la raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación.

\begin{aligned} \sqrt{x^{2}}=\sqrt{36}\\ \left| x\right| =6\\ \end{aligned}

Los números cuyo valor absoluto es 6 son los enteros +6 y -6. Por tanto,

\begin{aligned} {\color{Red} x=\pm 6} \end{aligned}

 

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 2

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} x^{2}+3x=0\\ \end{aligned}

(Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado incompletas РEjercicios resueltos donde falta el t̩rmino independiente c РLeccionesDeMates.com)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 2

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta: \begin{aligned} x^{2}+3x=0\\ \end{aligned}

Sacamos factor común en el miembro de la izquierda.

\begin{aligned} {\color{Red} x\cdot} x+3{\color{Red} \cdot x}=0\\ {\color{Red} x\cdot }\left( x+3\right) =0\\ \end{aligned}

Tenemos un producto a la izquierda que da de resultado cero. Esto quiere decir que alguno de los factores debe valer cero. Para ver cuándo se anula cada uno, montamos dos ecuaciones (en color azul), pero de primer grado. Las soluciones de estas ecuación (en rojo) serán las soluciones de la ecuación de segundo grado

\begin{aligned} \begin{cases}{\color{Blue} x=0}\rightarrow {\color{Red} x_{1}=0}\\ {\color{Blue} x+3=0}\rightarrow x+3-3=0-3\rightarrow {\color{Red} x_{2}=-3}\end{cases} \end{aligned}

En este tipo de ecuaciones incompletas donde falta el término independiente, siempre una de las soluciones será x=0.

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 4

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} 4x^{2}+16=0\\ \end{aligned}

(Ecuaciones de segundo grado incompletas РEjercicios resueltos donde falta el t̩rmino lineal bx)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 4

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} 4x^{2}+16=0\\ \end{aligned}

Vamos a despejar la incógnita. Para ello, aislamos el término cuadrático en un miembro y llevamos el término independiente (sin incógnita) al otro miembro aplicando la regla de la suma.

\begin{aligned} 4x^{2}+16{\color{Red} -16}=0{\color{Red} -16}\\ 4x^{2}=-16\\ \end{aligned}

Dividimos la ecuación entre el coeficiente de la incógnita (4 en este caso) para despejarla.

\begin{aligned} \dfrac{4x^{2}}{{\color{Red} 4}}=-\dfrac{16}{{\color{Red} 4}}\\ x^{2}=-4\\ \end{aligned}

Hacemos la raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación.

\begin{aligned} x=\sqrt{-4}\\ {\color{Red} x\notin \mathbb{R} } \end{aligned}

Como el radicando es negativo, no hay soluciones dentro del conjunto de los números reales.

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 6

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} 2x^{2}-\dfrac{5}{2}x=0\\ \end{aligned}

(Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado incompletas РEjercicios resueltos donde falta el t̩rmino independiente c РLeccionesDeMates.com)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado completa 6

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta: \begin{aligned} 2x^{2}-\dfrac{5}{2}x=0\\ \end{aligned}

Para quitar las fracciones (lo que nos molesta son los denominadores para operar más rápidamente), vamos a multiplicar la ecuación por el mcm de los denominadores que es 2.

\begin{aligned} {\color{Red} 2\cdot }\left[ 2x^{2}-\dfrac{5}{2}x\right] ={\color{Red} 2\cdot }0\\ 4x^{2}-5x=0\\ \end{aligned}

De nuevo, sacamos factor común en el miembro de la izquierda.

\begin{aligned} 4\cdot {\color{Red} x\cdot }x-5{\color{Red} \cdot x}=0\\ {\color{Red} x\cdot} \left( 4x-5\right) =0\\ \end{aligned}

Tenemos un producto a la izquierda que da de resultado cero. Esto quiere decir que alguno de los factores debe valer cero. Para ver cuándo se anula cada uno, montamos dos ecuaciones (en color azul), pero de primer grado. Las soluciones de estas ecuación (en rojo) serán las soluciones de la ecuación de segundo grado

\begin{aligned} \begin{cases}{\color{Blue} x=0}\rightarrow {\color{Red} x_{1}=0}\\ {\color{Blue} 4x-5=0}\rightarrow 4x=5\rightarrow {\color{Red} x_{2}=\dfrac{5}{4}}\end{cases} \end{aligned}

Ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 8

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} \dfrac{3x^{2}}{2}-\dfrac{1}{4}\left( 2x-5\right) =-\dfrac{1}{2}x\\ \end{aligned}

(Ecuaciones de segundo grado incompletas РEjercicios resueltos con par̩ntesis y fracciones)

Solución ejercicio resuelto de ecuación de segundo grado incompleta 8

Resuelve esta ecuación de segundo grado incompleta:

\begin{aligned} \dfrac{3x^{2}}{2}-\dfrac{1}{4}\left( 2x-5\right) =-\dfrac{1}{2}x\\ \end{aligned}

El primer paso consiste en quitar los paréntesis. En este ejemplo, aplicaremos la distributiva:

\begin{aligned} \dfrac{3x^{2}}{2}{\color{Red} -\dfrac{1}{4}}\left( 2x-5\right) =-\dfrac{1}{2}x\\ \dfrac{3x^{2}}{2}-{\color{Red} \dfrac{1}{4}}\cdot 2x+{\color{Red} \dfrac{1}{4}}\cdot 5=-\frac{1}{2}x \end{aligned}

Realizamos las multiplicaciones indicadas.

\begin{aligned} \dfrac{3x^{2}}{2}-\dfrac{2}{4}x+\dfrac{5}{4}=-\dfrac{1}{2}x\\ \end{aligned}

Simplificamos la única fracción que se puede.

\begin{aligned} \dfrac{3x^{2}}{2}-{\color{Red} \dfrac{2}{4}}x+\dfrac{5}{4}=-\dfrac{1}{2}x\\ \dfrac{3x^{2}}{2}-{\color{Red} \dfrac{1}{2}}x+\dfrac{5}{4}=-\dfrac{1}{2}x\\ \end{aligned}

Si te fijas, en los dos miembros se repite el término -\frac{1}{2}x por lo que se puede eliminar por la regla de la suma.

\begin{aligned} \dfrac{3x^{2}}{2}+\dfrac{5}{4}=0\\ \end{aligned}

Para quitar los denominadores, multiplicamos la ecuación incompleta por el mcm de los denominadores.

\begin{aligned} {\color{Red} 4\cdot }\left[ \dfrac{3x^{2}}{2}+\dfrac{5}{4}\right] ={\color{Red} 4\cdot} 0\\ \end{aligned}

Aplicamos de nuevo la distributiva.

\begin{aligned} \dfrac{{\color{Red} 4\cdot} 3x^{2}}{2}+\dfrac{{\color{Red} 4\cdot} 5}{4}=0\\ \end{aligned}

Multiplicamos en los numeradores y simplificamos las fracciones.

\begin{aligned} \dfrac{12x^{2}}{2}+5=0\\ 6x^{2}+5=0\\ \end{aligned}

Vamos a despejar la incógnita. Para ello, aislamos el término cuadrático en un miembro y llevamos el término independiente (sin incógnita) al otro miembro aplicando la regla de la suma.

\begin{aligned} 6x^{2}=-5\\ \end{aligned}

Dividimos la ecuación entre el coeficiente de la incógnita (6 en este caso) para despejarla.

\dfrac{6x^{2}}{6}=\dfrac{-5}{6}\\ x^{2}=-\dfrac{5}{6}\\

Hacemos la raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación.

\sqrt{x^{2}}=\sqrt{-\dfrac{5}{6}}\\ x=\sqrt{-\dfrac{5}{6}}\\

Como el radicando es negativo, no hay soluciones dentro del conjunto de los números reales.

{\color{Red} x\notin \mathbb{R}}

Origen de los problemas

Estos problemas resueltos con ecuaciones con temática de Geometría están tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generación de la editorial SM, así como ejercicios de cosecha propia. Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

Problemas ecuaciones y Geometría
Ecuaciones con fracciones resueltas
Resumen
â–· Ecuaciones de segundo grado incompletas - Ejercicios resueltos
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â–· Ecuaciones de segundo grado incompletas - Ejercicios resueltos
Descripción
👉 Domina las ecuaciones de segundo grado incompletas y practica todos los tipos de ejercicios resueltos que te propongo. ✅ Incluye explicación en vídeo. ¡¡Tú puedes!!
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