Ejercicios Resueltos de máximo común divisor

Ejercicios de MCD
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Máximo Común Divisor

“Es el número natural más grande que es divisor a la vez de todos los números originales dados.”

Se calcula:

  • Factorizando los números.
  • Multiplicando los factores comunes elevados al exponente menor de cada uno.

Aprende practicando

La mejor forma de asentar lo que has aprendido en clase es practicando con más ejercicios. Aquí te ofrezco una colección de ejercicios resueltos en los que aplicamos el máximo común divisor (MCD) para su resolución.

d

Matemáticas 1º de ESO

Ejercicios de MCD (máximo común dividir) resueltos

En 1º de ESO, se repasa el concepto de MCD que se inició en 6º de Primaria. Se insiste en el algoritmo de cálculo factorizando primero los números y multiplicando los factores comunes con su exponente menor.

Ejercicio MCD 1

Escribe todos los divisores de los siguientes números y encuentra su máximo común divisor.

  1. 8 y 12
  2. 3 y 18
  3. 9 y 15
  4. 9, 12 y 15
  5. 20, 24 y 32
  6. 18, 12 y 42

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 46).

Solución ejercicio MCD resuelto 1

1) 8 y 12:

  • Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8.
  • Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
  • Divisores comunes: 1, 2 y 4.

El MCD será 4 que es el mayor de los divisores comunes.

2) 3 y 18:

  • Divisores de 3: 1, 3.
  • Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
  • Divisores comunes: 1 y 3.

El MCD será 3 que es el mayor de los divisores comunes.

3) 9 y 15:

  • Divisores de 9: 1, 3 y 9.
  • Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15.
  • Divisores comunes: 1 y 3.

El MCD será 3 que es el mayor de los divisores comunes.

4) 9, 12 y 15:

  • Divisores de 9: 1, 3 y 9.
  • Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15.
  • Divisores comunes: 1 y 3.

El MCD será 3 que es el mayor de los divisores comunes.

5) 20, 24 y 32:

  • Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
  • Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
  • Divisores de 32: 1, 2, 4, 8, 16 y 32.
  • Divisores comunes: 1, 2 y 4.

El MCD será 4 que es el mayor de los divisores comunes.

6) 12, 18 y 42:

  • Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
  • Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42.
  • Divisores comunes: 1, 2, 3 y 6.

El MCD será 6 que es el mayor de los divisores comunes.

 

Ejercicio MCD resuelto 2

Descompón los siguientes números en factores primos y calcula su m.c.d.

a) 320 y 180

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 61a).

Solución ejercicio MCD resuelto 2

1) Calcula el MCD de 320 y 180:

Para calcular el MCD de 320 y 180, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 320=2^6 \cdot 5 \displaystyle 180=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5
\displaystyle \left.\begin{matrix} 320 \\ 160 \\ 80 \\ 40 \\ 20 \\ 10 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 180 \\ 90 \\ 45 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2^2 \cdot 5 = 20

Ejercicio MCD resuelto 3

Descompón los siguientes números en factores primos y calcula su m.c.d.

b) 400 y 125

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 61b).

Solución ejercicio MCD resuelto 3

1) Calcula el MCD de 400 y 125:

Para calcular el MCD de 400 y 125, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 400=2^4 \cdot 5^2 \displaystyle 125=5^3
\displaystyle \left.\begin{matrix} 400 \\ 200 \\ 100 \\ 50 \\ 25 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 125 \\ 25 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 5^2 = 25

Ejercicio MCD resuelto 4

Descompón los siguientes números en factores primos y calcula su m.c.d.

b) 56 y 156

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 61c).

Solución ejercicio MCD resuelto 4

1) Calcula el MCD de 56 y 156:

Para calcular el MCD de 56 y 156, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 56=2^3 \cdot 7 \displaystyle 156=2^2 \cdot 3 \cdot 13
\displaystyle \left.\begin{matrix} 56 \\ 28 \\ 14 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 13 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 156 \\ 78 \\ 39 \\ 13 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 13 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2^2 = 4

Ejercicio MCD resuelto 5

Descompón los siguientes números en factores primos y calcula su m.c.d.

b) 72, 81 y 126

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 61d).

Solución ejercicio MCD resuelto 5

1) Calcula el MCD de 72, 81 y 126:

Para calcular el MCD de 72, 81 y 126, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 72=2^3 \cdot 3^2 \displaystyle 81=3^4 \displaystyle 126=2 \cdot 3^2 \cdot 7
\displaystyle \left.\begin{matrix} 72 \\ 36 \\ 18 \\ 9 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 81 \\ 27 \\ 9 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 126 \\ 63 \\ 21 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 3^2 = 9

Ejercicio MCD resuelto 6

Descompón los siguientes números en factores primos y calcula su m.c.d.

b) 100, 150 y 325

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 61e).

Solución ejercicio MCD resuelto 6

1) Calcula el MCD de 100, 150 y 325:

Para calcular el MCD de 100, 150 y 325, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 100=2^2 \cdot 5^2 \displaystyle 150=2 \cdot 3 \cdot 5^2 \displaystyle 325=5^2 \cdot 13
\displaystyle \left.\begin{matrix} 100 \\ 50 \\ 25 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 5 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 150 \\ 75 \\ 25 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 325 \\ 65 \\ 13 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 13 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 5^2 = 25

Ejercicio MCD resuelto 7

Descompón los siguientes números en factores primos y calcula su m.c.d.

f) 63, 49 y 57(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 61f).

Solución ejercicio MCD resuelto 7

1) Calcula el MCD de 63, 49 y 57:

Para calcular el MCD de 63, 49 y 57, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 63=3^2 \cdot 7 \displaystyle 49= 7^2 \displaystyle 57=3 \cdot 19
\displaystyle \left.\begin{matrix} 63 \\ 21 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 49 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 57 \\ 19 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 3 \\ 19 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor. Como no hay ningún común excepto el 1, entonces

\displaystyle MCD = 1

Ejercicio MCD resuelto 8

Usando la descomposición en factores primos, calcula el MCD de los siguientes números.

a) 16, 28 y 48

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 100a).

Solución ejercicio MCD resuelto 8

1) Calcula el MCD de 16, 28 y 48:

Para calcular el MCD de 16, 28 y 48, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 16=2^4 \displaystyle 28= 2^2 \cdot 7 \displaystyle 48=2^4 \cdot 3
\displaystyle \left.\begin{matrix} 16 \\ 8 \\ 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 28 \\ 14 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 48 \\ 24 \\ 12 \\ 6 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2^2 = 4

Ejercicio MCD resuelto 9

Usando la descomposición en factores primos, calcula el MCD de los siguientes números.

b) 160, 280 y 480

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 100b).

Solución ejercicio MCD resuelto 9

1) Calcula el MCD de 160, 280 y 480:

Para calcular el MCD de 160, 280 y 480, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 160=2^5 \cdot 5 \displaystyle 280= 2^3 \cdot 5 \cdot 7 \displaystyle 480=2^5 \cdot 3 \cdot 5
\displaystyle \left.\begin{matrix} 160 \\ 80 \\ 40 \\ 20 \\ 10 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 280 \\ 140 \\ 70 \\ 35 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 480 \\ 240 \\ 120 \\ 60 \\ 30 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2^3 \cdot 5 = 40

Ejercicio MCD resuelto 10

Usando la descomposición en factores primos, calcula el MCD de los siguientes números.

c) 33, 88 y 121

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 100c).

Solución ejercicio MCD resuelto 10

1) Calcula el MCD de 33, 88 y 121:

Para calcular el MCD de 33, 88 y 121, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 33=3 \cdot 11 \displaystyle 88= 2^3 \cdot 11\displaystyle 121=11^2
\displaystyle \left.\begin{matrix} 33 \\ 11 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 3 \\ 11 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 88 \\ 44 \\ 22 \\ 11 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 11 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 121 \\ 11 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 11 \\ 11 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 11

Ejercicio MCD resuelto 11

Usando la descomposición en factores primos, calcula el MCD de los siguientes números.

d) 14, 21 y 35

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 100d).

Solución ejercicio MCD resuelto 11

1) Calcula el MCD de 14, 21 y 35:

Para calcular el MCD de 14, 21 y 35, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 14=2 \cdot 7 \displaystyle 21= 3 \cdot 7\displaystyle 35=5 \cdot 7
\displaystyle \left.\begin{matrix} 14 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 21 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 35 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 7

d

Matemáticas 2º de ESO

Ejercicios de MCD (máximo común divisor)

En 2º de ESO no se realiza ninguna ampliación significativa de dificultad respecto a los ejercicios en los que hay que usar el MCD para resolverlos.

Ejercicios MCD resueltos 1
Calcula el máximo común divisor de los siguientes números usando la descomposición factorial.
a) 32 y 56
(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 22a).
Solución ejercicios MCD resueltos 1

1) Calcula el MCD de 32 y 56:

Para calcular el MCD de 32 y 56, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 32=2^5\displaystyle 56=2^3 \cdot 7
\displaystyle \left.\begin{matrix} 32 \\ 16 \\ 8 \\ 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 56 \\ 28 \\ 14 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2^3 = 8

Ejercicios MCD resueltos 2
Calcula el máximo común divisor de los siguientes números usando la descomposición factorial.
b) 49 y 56
(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 22b).
Solución ejercicios MCD resueltos 2

1) Calcula el MCD de 49 y 56:

Para calcular el MCD de 49 y 56, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 49=7^2\displaystyle 56=2^3 \cdot 7
\displaystyle \left.\begin{matrix} 49 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 56 \\ 28 \\ 14 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 7

Ejercicios MCD resueltos 3
Calcula el máximo común divisor de los siguientes números usando la descomposición factorial.
c) 80 y 120
(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 22c).
Solución ejercicios MCD resueltos 3

1) Calcula el MCD de 80 y 120:

Para calcular el MCD de 80 y 120, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 80=2^4 \cdot 5\displaystyle 120=2^3 \cdot 3 \cdot 5
\displaystyle \left.\begin{matrix} 80 \\ 40 \\ 20 \\ 10 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 120 \\ 60 \\ 30 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2^3 \cdot 5 = 40

Ejercicios MCD resueltos 4
Calcula el máximo común divisor de los siguientes números usando la descomposición factorial.
d) 36 y 175
(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 22d).
Solución ejercicios MCD resueltos 4

1) Calcula el MCD de 36 y 175:

Para calcular el MCD de 36 y 175, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 36=2^2 \cdot 3^2\displaystyle 175=5^2 \cdot 7
\displaystyle \left.\begin{matrix} 36 \\ 18 \\ 9 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 175 \\ 35 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 1

Ejercicios MCD resueltos 5
Calcula el máximo común divisor de los siguientes números usando la descomposición factorial.
e) 18, 48 y 98
(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 22e).
Solución ejercicios MCD resueltos 5

1) Calcula el MCD de 18, 48 y 98:

Para calcular el MCD de 18, 48 y 175, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 18=2 \cdot 3^2\displaystyle 48=2^4 \cdot 3\displaystyle 98=2 \cdot 7^2
\displaystyle \left.\begin{matrix} 18 \\ 9 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 48 \\ 24 \\ 12 \\ 6 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \displaystyle \left.\begin{matrix} 98 \\ 49 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2

Ejercicios MCD resueltos 6
Calcula el máximo común divisor de los siguientes números usando la descomposición factorial.
e) 33, 60 y 66
(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 22f).
Solución ejercicios MCD resueltos 6

1) Calcula el MCD de 33, 60 y 66:

Para calcular el MCD de 30, 60 y 66, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 33=3 \cdot 11\displaystyle 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5\displaystyle 66=2 \cdot 3 \cdot 11
Descomposición en factores primos de 33Descomposición en factores primos de 60Descomposición en factores primos de 66

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los tres números elevados a su exponente menor.

MCD de 33, 60 y 66

Ejercicios MCD resueltos 7

Escribe dos números cuyo MCD sea 210 y que estén entre 10 000 y 11000.
(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 26).

Solución ejercicios MCD resueltos 7

Debemos buscar dos números, a y b, que cumplan lo siguiente:

\displaystyle 210 \cdot a > 10.000
\displaystyle 210 \cdot b < 11.000
y que a y b sean primos relativos (que no tengan ningún divisor común).

Para calcular a, dividimos 10000 entre 210:
\displaystyle \frac{10000}{210} =47.\hat{619047}
Redondeando hacia arriba, a = 48.

Luego el primer número será \displaystyle 210 \cdot 48 = 10.080

Para calcular b, vamos probando con los siguientes números a 48 hasta que encontremos uno que no tenga ningún divisor en común. El siguiente sería 49 que, efectivamente, no tiene ningún divisor en común. Por tanto, el segundo número es:

\displaystyle 210 \cdot 49 =10.290

Solución: los números 10080 y 10290 tiene como MCD a 210 y están entre 10000 y 11000.

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Origen de los ejercicios

Estos ejercicios están tomados de los libros de la serie SAVIA de la editorial SM. En concreto, de los libros de texto de 1º y 2º de ESO.  Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

Resumen
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