Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado es una ecuación cuya incógnita está elevada a uno.

En esta entrada del blog, iremos añadiendo ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con denominadores y paréntesis resueltas paso a paso. Encontrarás 20 ecuaciones con sus soluciones indexadas en esta tabla. Pulsa en la ecuación que más te guste y mira su solución y los pasos explicados para llegar a ella. Al final de la entrada, encontrarás un fichero PDF con más de 30 ecuaciones resueltas descargable que contiene las dudas que nos van proponiendo los suscriptores del canal de YouTube.

Estas ecuaciones resueltas son adecuadas para 1º, 2º y 3º de ESO. Pulsa en la ecuación para ir a la solución y su explicación paso a paso.

Tabla de ecuaciones de primer grado con soluciones

Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Ejercicio 7
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Ejercicio 11
Ejercicio 12
Ejercicio 13
Ejercicio 14
Ejercicio 15
Ejercicio 16
Ejercicio 17
Ejercicio 18
Ejercicio 19
Ejercicio 20
Más dudas	Dudas y ejercicios que nos proponen los usuarios del canal de YouTube

Si después de hacer todas estas ecuaciones tienes ganas de más, te ofrecemos también esta entrada de LeccionesDeMates con más ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores tomadas del libro de Matemáticas de SM Savia para 1º de ESO.

Pasos para resolver una ecuación

Muy brevemente, recuerda que, para resolver una ecuación lineal o de primer grado, podemos seguir estos pasos:

• Quitar todos los paréntesis de la ecuación.
• Eliminar los denominadores y fracciones.
• Simplificar los términos semejantes.
• Colocar los términos con la incógnita en lado de la ecuación y los independientes en el otro con la regla de la suma.
• Despejar la incógnita con la regla del producto.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado: Soluciones paso a paso

Ejercicios resueltos de ecuaciones 1

Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

$latex \displaystyle
1-\frac{2x}{7}=x-2x+\frac{2}{3}
$

Simplificamos términos semejantes

$latex \displaystyle
1-\frac{2x}{7}=-x+\frac{2}{3}
$

$latex \displaystyle
\frac{1}{1}-\frac{2x}{7}=-\frac{x}{1}+\frac{2}{3}
$

Multiplicamos la ecuación por 21 que es el mcm de los denominadores.

$latex \displaystyle
\frac{21\cdot{}1}{1}-\frac{21\cdot{}2x}{7}=-\frac{21\cdot{}x}{1}+\frac{21\cdot{}2}{3}
$

Simplificamos

$latex \displaystyle
21-6x=-21x+14
$

Restamos 21

$latex \displaystyle
-6x=-21x-7
$

Sumamos 21x

$latex \displaystyle
15x=-7
$

Aplicamos la regla de producto dividiento entre 15.

$latex \displaystyle
x=-\frac{7}{15}
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicios resueltos de ecuaciones 2

$latex \displaystyle
\frac{1}{2}\cdot{}\left(2x-3\right)+1=\frac{1}{3}\cdot{}\left(x-5\right)-x
$

Multiplicamos las fracciones por los paréntesis

$latex \displaystyle
\frac{2x-3}{2}+1=\frac{x-5}{3}-x
$

$latex \displaystyle
\frac{2x-3}{2}+\frac{1}{1}=\frac{x-5}{3}-\frac{x}{1}
$

Calculamos el mcm de los denominadores que es 6 y multiplicamos la ecuación por 6

$latex \displaystyle
\frac{6\cdot{}(2x-3)}{2}+\frac{6\cdot{}1}{1}=\frac{6\cdot{}(x-5)}{3}-\frac{6\cdot{}x}{1}
$

Simplificamos

$latex \displaystyle
3\left(2x-3\right)+6=2\left(x-5\right)-6x
$

Quitamos los nuevos paréntesis que nos han aparecido haciendo la propiedad distributiva.

$latex \displaystyle
6x-9+6=2x-10-6x
$

Simplificamos términos semejantes

$latex \displaystyle
6x-3=-4x-10
$

Regla de la suma: sumamos +3

$latex \displaystyle
6x=-4x-7
$

Regla de la suma: sumamos 4x

$latex \displaystyle
10x=-7
$

Regla del producto: dividimos entre 10

$latex \displaystyle
x=-\frac{7}{10}
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicios resueltos de ecuaciones 3

$latex \displaystyle
11x-5\left(2x+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5}\left(x-\frac{1}{2}\right)-1
$

Quitamos paréntesis con la propiedad distributiva

$latex \displaystyle
11x-10x-\frac{5}{2}=\frac{3x}{5}-\frac{3}{10}-1
$

$latex \displaystyle
\frac{11x}{1}-\frac{10x}{1}-\frac{5}{2}=\frac{3x}{5}-\frac{3}{10}-\frac{1}{1}
$

Multiplicamos la ecuación por 10 que es el mcm de los denominadores

$latex \displaystyle
\frac{10\cdot{}11x}{1}-\frac{10\cdot{}10x}{1}-\frac{10\cdot{}5}{2}=\frac{10\cdot{}3x}{5}-\frac{10\cdot{}3}{10}-\frac{10\cdot{}1}{1}
$

Simplificamos

$latex \displaystyle
110x-100x-25=6x-3-10
$

Simplificamos términos semejantes

$latex \displaystyle
10x-25=6x-13
$

Regla de la suma: sumamos +25

$latex \displaystyle
10x=6x+12
$

Regla de la suma: sumamos -6x

$latex \displaystyle
4x=12
$

Regla del producto: dividimos entre 4

$latex \displaystyle
\frac{4x}{4}=\frac{12}{4}
$

$latex \displaystyle
x=3
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicios resueltos de ecuaciones 4

$latex \displaystyle
2\left(\frac{4x}{9}-\frac{7}{6}\right)+\frac{2x}{3}=1-\frac{2x}{3}
$

Quitamos el paréntesis con la propiedad distributiva

$latex \displaystyle
\frac{8x}{9}-\frac{14}{6}+\frac{2x}{3}=1-\frac{2x}{3}
$

Simplificamos la segunda fracción

$latex \displaystyle
\frac{8x}{9}-\frac{7}{3}+\frac{2x}{3}=\frac{1}{1}-\frac{2x}{3}
$

Multiplicamos la ecuación por 9 que es el mcm de los denominadores

$latex \displaystyle
\frac{9\cdot{}8x}{9}-\frac{9\cdot{}7}{3}+\frac{9\cdot{}2x}{3}=\frac{9\cdot{}1}{1}-\frac{9\cdot{}2x}{3}
$

Simplificamos las fracciones

$latex \displaystyle
8x-21+6x=9-6x
$

Simplificamos términos semajantes

$latex \displaystyle
14x-21=9-6x
$

Regla de la suma: sumamos +21

$latex \displaystyle
14x=30-6x
$

Regla de la suma: sumamos +6x

$latex \displaystyle
20x=30
$

Regla del producto: dividimos entre 20

$latex \displaystyle
x=\frac{30}{20}
$

Simplificamos el resultado

$latex \displaystyle
x=\frac{3}{2}
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 5

$latex \displaystyle
28+x=\frac{5}{9}\left(60+x\right)\
$

Multiplicamos la fracción por el paréntesis

$latex \displaystyle
28+x=\frac{5\cdot{}\left(60+x\right)}{9}
$

Quitamos el paréntesis del denominador con la propiedad distributiva

$latex \displaystyle
28+x=\frac{300+5x}{9}
$

$latex \displaystyle
\frac{28+x}{1}=\frac{300+5x}{9}
$

Calculamos el mcm de los denominadores (9) y multiplicamos la ecuación por ese número gracias a la regla del producto.

$latex \displaystyle
\frac{9\cdot{}\left(28+x\right)}{1}=\frac{9\cdot{}\left(300+5x\right)}{9}
$

Simplificamos las fracciones

$latex \displaystyle
9\cdot{}\left(28+x\right)=\left(300+5x\right)
$

Quitamos los nuevos paréntesis que nos han aparecido.

$latex \displaystyle
252+9x=300+5x
$

Regla de la suma: sumamos -252

$latex \displaystyle
9x=48+5x
$

Regla de la suma: sumamos -5x

$latex \displaystyle
4x=48
$

Regla del producto: dividimos entre 4

$latex \displaystyle
\frac{4x}{4}=\frac{48}{4}
$

$latex \displaystyle
x=12
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 6

$latex \displaystyle
\frac{1}{2} \cdot x+8 = x + 10
$

Multiplicamos la ecuación por 2 para quitar los denominadores.

$latex \displaystyle
x+ 16 = 2x + 20
$

Regla de la suma: restamos 16 para quitar el término independiente del miembro de la izquierda.

$latex \displaystyle
x = 2x + 4
$

Regla de la suma: restamos 2x para quitar el término dependiente  del miembro de la derecha.

$latex \displaystyle
-x = 4
$

Regla del producto: dividimos entre el coeficiente de la incógnita x que es -1

$latex \displaystyle
x = -4
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 7

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado
$latex \displaystyle
4\cdot \left (\frac{1}{3}x – \frac{3}{4}  \right ) = -\frac{2}{9}\cdot\left ( x-\frac{1}{2} \right )
$

Quitamos los paréntesis multiplicando los factores con la propiedad distributiva.

$latex \displaystyle

\frac{4x}{3} – \frac{12}{4}  = -\frac{2x}{9} + \frac{2}{18}

$

Y simplificamos:

$latex \displaystyle

\frac{4x}{3} – 3  = -\frac{2x}{9} + \frac{1}{9}

$

Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 9:

$latex \displaystyle

\frac{9\cdot4x}{3} – \frac{9\cdot3}{1}  = -\frac{9\cdot2x}{9} + \frac{9\cdot1}{9}

$

Y volvemos a simplificar:

$latex \displaystyle

12x – 27  = -2x + 1

$

Esta expresión no se puede simplificar, por lo que seguimos adelante. Ahora usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 27:

$latex \displaystyle

12x   = -2x + 28

$

Ahora sumamos 2x

$latex \displaystyle

14x   = 28

$

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre 14:

$latex \displaystyle

x   = 2

$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 8

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado $latex \displaystyle
– \left (2x – \frac{1}{4} \right ) + \frac{1}{2}x= \frac{7}{4}\cdot\left ( x-2\right )
$

Quitamos los paréntesis del miembro de la izquierda cambiando de signo los términos que hay dentro de él y el del miembro de la derecha mediante la propiedad distributiva:

$latex \displaystyle
-2x + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x = \frac{7}{4}\cdot x – \frac{7}{4}\cdot 2
$

Y simplificamos:

$latex \displaystyle

-2x + \frac{1}{4} + \frac{x}{2} = \frac{7x}{4} – \frac{7\cdot 2}{4}

$

$latex \displaystyle

\frac{-2x}{1} + \frac{1}{4} + \frac{x}{2} = \frac{7x}{4} – \frac{7}{2}

$

Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 4:

$latex \displaystyle

\frac{4\cdot(-2x)}{1} + \frac{4\cdot1}{4} + \frac{4\cdot x}{2} = \frac{4\cdot7x}{4} – \frac{4\cdot7}{2}

$

Y volvemos a simplificar:

$latex \displaystyle

-8x + 1 + 2x = 7x – 14

$

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

$latex \displaystyle

-6x + 1 = 7x – 14

$

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 1 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle

-6x  = 7x – 15

$

Ahora restamos 7x

$latex \displaystyle

-13x   = -15

$

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es -13:

$latex \displaystyle

\frac{-13x}{-13}   = \frac{-15}{-13}

$

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

$latex \displaystyle

x   = \frac{15}{13}

$
Ejercicios resueltos de ecuaciones

Ejercicios resueltos de ecuaciones 9

Ejercicios resueltos de ecuaciones $latex \displaystyle
\frac{2 \cdot (3x-1)}{3}+\frac{5x-6}{6}= \frac{138}{9}
$

Quitamos los paréntesis del miembro de la izquierda con la propiedad distributiva y simplificamos la fracción del miembro de la derecha:
$latex \displaystyle
\frac{6x-2}{3}+\frac{5x-6}{6} = \frac{46}{3}
$
Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 6:

$latex \displaystyle

\frac{6 \cdot (6x-2)}{3}+\frac{6 \cdot(5x-6)}{6} = \frac{6 \cdot 46}{3}

$

Y volvemos a simplificar las fracciones:

$latex \displaystyle

2 \cdot (6x-2) + (5x-6) = 2 \cdot 46

$

Y, de nuevo, quitamos los paréntesis que nos han aparecido:

$latex \displaystyle

12x-4 + 5x-6 = 92

$

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

$latex \displaystyle

17x – 10  = 92

$

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 10 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle

17x = 102

$

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es 17:

$latex \displaystyle

\frac{17x}{17}   = \frac{102}{17}

$

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

$latex \displaystyle

x   =  6$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 10

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado $latex \displaystyle
7x+8 \cdot \left (x+\frac{1}{4} \right) =3 \cdot (6x-9)-9
$

Quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

$latex \displaystyle
7x+8x +\frac{8}{4} =18x-27-9
$
Quitamos los denominadores simplificando la única fracción que tenemos, ya que la división sale exacta:

$latex \displaystyle

7x+8x +2 = 18x-27-9

$

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

$latex \displaystyle

15x + 2 =18x-36

$

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 2 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
15x + 2 -2 = 18x – 36 – 2
$

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
$latex \displaystyle

15x = 18x-38

$

Ahora, para quitar el 18x, vamos a restar 18x en los dos miembros
$latex \displaystyle

15x -18x = 18x-38 – 18x

$

$latex \displaystyle

-3x = -38

$

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es -3:

$latex \displaystyle

\frac{-3x}{-3} = \frac{-38}{-3}

$

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

$latex \displaystyle

x   =  \frac{38}{3}

$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 11

Ejercicios resueltos de ecuaciones 11 $latex \displaystyle
\frac{2}{3} \cdot \left (\frac{4}{5}y+\frac{3}{6} \right ) = \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{2}{4} \cdot y – \frac{3}{5} \right )
$
Como los dos miembros de la ecuación están multiplicados por podemos quitar dicho factor en los dos miembros de la ecuación. Y, por ende, los paréntesis no son necesarios.

$latex \displaystyle
\frac{4}{5}y+\frac{3}{6} = \frac{2}{4} \cdot y – \frac{3}{5}
$
Simplicamos las fracciones que no son irreducibles:
$latex \displaystyle
\frac{4}{5}y+\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot y – \frac{3}{5}
$

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores que, en este caso, es 10:

$latex \displaystyle
\frac{10 \cdot 4}{5}y+\frac{10 \cdot 1}{2} = \frac{10 \cdot 1}{2} \cdot y – \frac{10 \cdot 3}{5}
$
Y simplificamos:
$latex \displaystyle
8y+5 = 5y – 6
$

En el siguiente paso, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con dependientes (con incógnitas) en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 5 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
8y+5-5 = 5y – 6 – 5
$
y simplificando términos semejantes:
$latex \displaystyle
8y = 5y – 11
$

Ahora, para quitar el 5y, vamos a restar 5y en los dos miembros
$latex \displaystyle

8y – 5y = 5y – 11 – 5y

$

$latex \displaystyle

3y = -11

$

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es 3:

$latex \displaystyle

\frac{3y}{3} = \frac{-11}{3}

$

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

$latex \displaystyle

x   = – \frac{11}{3}

$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 12

Ejercicios resueltos de ecuaciones 12 $latex \displaystyle
\frac{1}{3} \cdot (x-6) = \frac{1}{5}
$

Multipliamos, en primer lugar, la fracción por el paréntesis:

$latex \displaystyle
\frac{(x-6)}{3} = \frac{1}{5}
$
Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores que, en este caso, es 15:

$latex \displaystyle
\frac{15 \cdot (x-6)}{3} = \frac{15 \cdot 1}{5}$
Y simplificamos:
$latex \displaystyle
5 \cdot (x – 6) = 3
$
Como hemos obtenido paréntesis de nuevo, los quitamos, esta vez, mediante la propiedad distributiva:
$latex \displaystyle
5x – 30 = 3
$

En el siguiente paso, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con dependientes (con incógnitas) en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 30 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
5x – 30 + 30 = 3 + 30
$
y simplificando términos semejantes:
$latex \displaystyle
5x = 33
$

Ahora, para quitar el 5 que multiplica a la incógnita, vamos dividir en los miembros entre 5
$latex \displaystyle

\frac{5x}{5} = \frac{33}{5}

$

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

$latex \displaystyle

x   = \frac{33}{5}

$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 13

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado $latex \displaystyle
\frac{x+2}{2}-3(x+1)=\frac{-5x}{2}-2
$

En el paso 1, quitamos los paréntesis multiplicando por cada uno de los dos términos que hay dentro del paréntesis.
$latex \displaystyle
\frac{x+2}{2}-3x-3=\frac{-5x}{2}-2
$
Ahora, quitamos denominadores para hacer más sencillos los cálculos. Lo hacemos multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores que, en este caso, es 2:

$latex \displaystyle
\frac{2\cdot(x+2)}{2}-\frac{2\cdot3x}{1}-\frac{2\cdot3}{1}=\frac{2\cdot(-5x)}{2}-\frac{2\cdot2}{1}
Y simplificamos la fracciones:
$latex \displaystyle
(x+2)-2\cdot3x – 2\cdot3 = -5x – 2\cdot2
$
Como hemos obtenido paréntesis de nuevo, los quitamos, esta vez, al ir sumando dicho paréntesis, se puede quitar sin más:
$latex \displaystyle
x+2- 6x – 6 = -5x – 4
$
En tercer lugar, simplificamos términos semejantes:
$latex \displaystyle
-5x-4 = -5x – 4
$
En el siguiente paso, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con dependientes (con incógnitas) en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 4 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
-5x-4 +4= -5x – 4 + 4
$
y simplificando términos semejantes:
$latex \displaystyle
-5x = -5x
$
Ahora, sumamos 5x para quitar los términos con la incógnita del miembro de la derecha:
$latex \displaystyle
-5x + 5x = -5x + 5x
$
Y se nos queda
$latex \displaystyle
0 = 0
$

Como esa igualdad siempre es cierta (cero siempre es igual que cero) podemos concluir que no se trataba de una ecuación propiamente dicha, sino de una identidad. La diferencia es que las identidades son verdad para cualquier valor que se le dé a la incógnita y la ecuaciones sólo son verdad para algunos valores de la incógnita. Dichos valores son las soluciones de la ecuación.

Ejercicios resueltos de ecuaciones 14

Ejercicios resueltos de ecuaciones $latex \displaystyle
\frac{3(x+1)}{2} – x = \frac{x-4}{3}
$

Primero, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

$latex \displaystyle
\frac{3x+3}{2} – x = \frac{x-4}{3}
$
Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 6:

$latex \displaystyle
\frac{6(3x+3)}{2} – \frac{6\cdot x}{1} = \frac{6 \cdot (x-4)}{3}
$
Y simplificamos las fracciones:
$latex \displaystyle
3\cdot (3x+3) – 6x = 2\cdot (x-4)
$

Como hemos obtenido paréntesis, tenemos que quitarlos:
$latex \displaystyle
9x+9 – 6x = 2x-8
$

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

$latex \displaystyle
3x + 9 =2x-8
$

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 9 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
3x + 9 – 9 = 2x-8 – 9$

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
$latex \displaystyle
3x = 2x-17
$
De igual forma, para quitar el 2x del miembro de la derecha, restamos 2x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
$latex \displaystyle
3x – 2x = 2x-17 -2x
$

Simplificando, obtenemos directamente la solución sin tener que despejar la incógnita con la regla del producto.

$latex \displaystyle
x = -17
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 15

Ejercicios resueltos de ecuaciones $latex \displaystyle
3x-\frac{x-2}{2}=2\cdot \left (2+\left (\frac{x}{4} \right ) \right )
$

Primero, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

$latex \displaystyle
3x-\frac{x-2}{2}=4+\left (\frac{2x}{4} \right )
$
y simplificamos la fracción del miembro de la derecha para que las cuentas sean más sencillas:
$latex \displaystyle
3x-\frac{x-2}{2}=4+ \frac{x}{2}
$

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 2:

$latex \displaystyle
\frac{2\cdot 3x}{1}-\frac{2\cdot (x-2)}{2}=\frac{2\cdot 4}{1}+ \frac{2\cdot x}{2}
$

Y simplificamos las fracciones:
$latex \displaystyle
2\cdot 3x-(x-2)=2\cdot 4+ x
$

Como nos han salidos nuevos paréntesis, tenemos que quitarlos:
$latex \displaystyle
6x-x+2=8 + x
$

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

$latex \displaystyle
$5x + 2 = 8 + x

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 2 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
5x + 2 -2 = 8 + x -2
$

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
$latex \displaystyle
5x = 6 + x
$
De igual forma, para quitar la incógnita del miembro de la derecha, restamos x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
$latex \displaystyle
5x – x= 6 + x – x
$

Simplificando, obtenemos
$latex \displaystyle
4x = 6
$
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
$latex \displaystyle
\frac{4x}{4} = \frac{6}{4}
$
Con lo que la solución es:
$latex \displaystyle
x = \frac{6}{4}
$
Y si la simplificamos:
$latex \displaystyle
x = \frac{3}{2}
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 16

Ejercicios resueltos de ecuaciones $latex \displaystyle
\frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{x}{3} – \frac{x}{2} \right ) + \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{1}{2} – \frac{x}{3} \right )
$

En primer lugar, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

$latex \displaystyle
\frac{x}{6} – \frac{x}{4} +\frac{1}{9} = \frac{1}{4}-\frac{x}{6}
$
Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 36:

$latex \displaystyle
\frac{36\cdot x}{6} – \frac{36\cdot x}{4} +\frac{36\cdot 1}{9} = \frac{36\cdot 1}{4}-\frac{36\cdot x}{6}
$
Y simplificamos las fracciones:
$latex \displaystyle
6x – 9x + 4 = 9-6x
$

El tercer paso consiste en simplificar sumando los términos semejantes:

$latex \displaystyle
-3x + 4 = 9 – 6x
$

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 4 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
-3x + 4 – 4 = 9 – 6x – 4
$

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
$latex \displaystyle
-3x = 5 – 6x
$
De igual forma, para quitar el 2x del miembro de la derecha, sumamos 6x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
$latex \displaystyle
-3x + 6x = 5 – 6x + 6x
$

Simplificando, obtenemos
$latex \displaystyle
3x = 5
$
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
$latex \displaystyle
\frac{3x}{3} = \frac{5}{3}
$
Con lo que la solución es:
$latex \displaystyle
x = \frac{5}{3}

Ejercicios resueltos de ecuaciones 17

Ejercicios resueltos de ecuaciones $latex \displaystyle
\frac{2}{3} \left (\frac{4}{5}y+\frac{3}{6} \right )=\frac{2}{3}\left ( \frac{2}{4}y-\frac{3}{5} \right )
$

En primer lugar, nos fijamos que los dos miembros de la ecuación están multiplicados por el mismo número por lo que lo podemos eliminar gracias a la regla del producto:

$latex \displaystyle
\frac{4}{5}y+\frac{3}{6} =\frac{2}{4}y-\frac{3}{5}
$

En segundo lugar, simplificamos las fracciones que no son irreducibles:

$latex \displaystyle
\frac{4}{5}y+\frac{1}{2} =\frac{1}{2}y-\frac{3}{5}
$

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 10:

$latex \displaystyle
\frac{10\cdot 4}{5}y+\frac{10\cdot 1}{2} =\frac{10\cdot 1}{2}y-\frac{10\cdot 3}{5}
$

Y simplificamos las fracciones:
$latex \displaystyle
8y + 5 = 5y – 6
$

El tercer paso consiste en simplificar los términos semejantes, pero no hay ninguno.

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 5 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
8y + 5 – 5= 5y – 6 -5
$

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
$latex \displaystyle
8y = 5y – 11
$
De igual forma, para quitar el 5y del miembro de la derecha, restamos 5y en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
$latex \displaystyle
8y – 5y = 5y – 11 – 5y
$

Simplificando, obtenemos
$latex \displaystyle
3y = -11
$
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
$latex \displaystyle
\frac{3y}{3} = \frac{-11}{3}
$
Con lo que la solución es:
$latex \displaystyle
y = -\frac{11}{3}
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 18

Ejercicios resueltos de ecuaciones $latex \displaystyle
3\cdot (x-5) = \frac{2x}{4} + \frac{3\cdot (1-2x)}{6}
$

En primer lugar, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva en el miembro de la izquierda y simplificando la fracción en el miembro de la derecha. También simplificamos la primera fracción del primer término del segundo miembro.

$latex \displaystyle
3x-15 = \frac{x}{2} + \frac{1-2x}{2}
$
Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 2:

$latex \displaystyle
\frac{2\cdot (3x-15)}{1} = \frac{2\cdot x}{2} + \frac{2\cdot (1-2x)}{2}
$

Y simplificamos las fracciones:

$latex \displaystyle
2\cdot (3x-15) = x + (1-2x)
$

Y volvemos a quitar los paréntesis que nos han salido:

$latex \displaystyle
6x-30 = x + 1-2x
$

El tercer paso consiste en simplificar sumando los términos semejantes:

$latex \displaystyle
6x – 30 = 1 – x
$

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 30 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
6x – 30 + 30 = 1 – x + 30
$

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
$latex \displaystyle
6x = 31 – x
$
De igual forma, para quitar la x del miembro de la derecha, sumamos x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
$latex \displaystyle
6x + x = 31 – x + x
$

Simplificando, obtenemos

$latex \displaystyle
7x = 31
$
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
$latex \displaystyle
\frac{7x}{7} = \frac{31}{7}
$
Con lo que la solución es:
$latex \displaystyle
x = \frac{31}{7}
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 19

Ejercicios resueltos de ecuaciones $latex \displaystyle
\frac{5}{3} \cdot \left (3x-\frac{1}{4} \right ) = – \frac{1}{3} \cdot \left (3x+\frac{2}{5} \right )
$

En primer lugar, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:
$latex \displaystyle
\frac{5}{3}\cdot 3x-\frac{5}{3}\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{3} \cdot 3x-\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
$
Y simplificamos:
$latex \displaystyle
5x-\frac{5}{12}=-x – \frac{2}{15}
$

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 60:

$latex \displaystyle
\frac{60\cdot 5x}{1}-\frac{60\cdot 5}{12}=-\frac{60\cdot x}{1} – \frac{60\cdot 2}{15}
$

Y volvemos a simplificar las fracciones:

$latex \displaystyle
300x-25 = -60x – 8
$

El tercer paso consiste en simplificar sumando los términos semejantes, pero en este caso no hay ninguno.

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 25 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
300x – 25 + 25 = -60x – 8 + 25
$

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
$latex \displaystyle
300x = -60x + 17
$
De igual forma, para quitar el 60x del miembro de la derecha, sumamos 60x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
$latex \displaystyle
300x +60x = -60x + 17 + 60x
$

Simplificando, obtenemos

$latex \displaystyle
360x = 17
$
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
$latex \displaystyle
\frac{360x}{360} = \frac{17}{360}
$
Con lo que la solución es:
$latex \displaystyle
x = \frac{17}{360}
$

Ejercicios resueltos de ecuaciones 20

Ejercicios resueltos de ecuaciones $latex \displaystyle \frac{2}{x-5} + \frac{1}{3} = 5
$

Esta ecuación tiene la incógnita en el denominador por lo que es distinta a todas las demás que hemos resuelto en esta entrada del blog. Se trata de una ecuación algebraica. Vamos a hacer una pequeña transformación para poder resolverla de forma parecida a las demás.

La idea es dejar sóla la fracción que tiene la incógnita en el denominador. Para ello, por la regla de la suma, vamos a restar en los dos miembros de la ecuación:
$latex \displaystyle
\frac{2}{x-5} + \frac{1}{3} – \frac{1}{3} = 5 – \frac{1}{3}
$

Y simplificamos:
$latex \displaystyle
\frac{2}{x-5} = \frac{14}{3}
$

Si te fijas, la ecuación representa ahora la igual entre dos fracciones. Y sabemos que dos fracciones son equivalentes cuando su producto en cruz también lo es:

$latex \displaystyle
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a\cdot d = b\cdot c
$

Utilizando esta misma propiedad tenemos que:
$latex \displaystyle
\frac{2}{x-5} = \frac{14}{3}
$
Es equivalente a:

$latex \displaystyle
2\cdot 3 = 14\cdot (x-5)
$

Después de estas operaciones previas, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:
$latex \displaystyle
6 = 14x – 70
$

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 6 en los dos lados de la ecuación:

$latex \displaystyle
6 – 6 = 14x – 70 – 6
$

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
$latex \displaystyle
0 = 14x – 76
$
De igual forma, para quitar el 14x del miembro de la derecha, restamos 14x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
$latex \displaystyle
0 – 14x = 14x – 76 – 14x
$

Simplificando, obtenemos

$latex \displaystyle
-14x = -76
$

Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:

$latex \displaystyle \frac{-14x}{-14} = \frac{-76}{-14}
$
Con lo que la solución es: $latex \displaystyle
x = \frac{-76}{-14}
$
Simplificando: $latex \displaystyle
x = \frac{38}{7}
$

Más ecuaciones resueltas del canal de YouTube

Ejercicios resueltos de ecuaciones
Dada la buena acogida que está teniendo este vídeo en YouTube, esta entrada del blog ha crecido un montón. Para hacer más sencilla la consulta de las dudas, a partir de la número 20 os las voy a ir dejando en un fichero en PDF que podéis descargar un poco más abajo.
Muchas gracias por vuestro apoyo.

Descargar los ejercicios (PDF, 711KB)

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