Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical
Introducir y extraer factores de una raíz Ver el vídeoExtraer factores
“Para extraer un factor de una raíz o radical, su exponente debe ser mayor o igual que el índice de la raíz”
Ten en cuenta:
- Si el exponente del factor es igual que el índice de la raíz, sacamos el factor fuera de la raíz elevado a 1.
- Si el exponente del factor es mayor que el índice de la raíz, dividimos el exponente entre el índice. El cociente de dicha división será el exponente del factor que sale y el resto será el exponente del factor que se queda dentro del radicando.
. De modo más directo,
de forma que el cociente será el exponente del factor que sacamos de la raíz 
y el resto de la división será el exponente del factor que se queda dentro del radicando de la raíz 
encontrado de este modo el mismo resultado 
, pero de un modo más rápido.
Matemáticas 3º de ESO
Ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz o radical
En 3º de ESO, se trabaja en profundidad el tema de los raíces o radicales. Uno de los conceptos que nos ayudan a simplificar radicales es la extracción de factores del radicando de la raíz. Vamos a trabajar algunos ejercicios resueltos.
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 1
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 45a).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 1
Forma lenta:
Agrupamos en potencias de 2, porque es una de índice dos, o sea, una raíz cuadrada.
Vamos ahora en la propiedad del producto de raíces de igual índice:
Para separar la raíz original como producto de raíces con el mismo índice:
La raíces cuadradas con los radicandos elevado al cuadrado:
Asociamos los productos de fuera de la raíz:
Dejar nuestro ejercicio pero vamos a calcular las potencias para simplificar más este radical.
Forma rápida:
Dividimos el exponente de cada factor entre el índice de la raíz. Al ser una raíz cuadrada el índice es dos.
Primero vamos a ver el factor 3.
Como el cociente es 2, el factor sale de la raíz elevado a 2 y como el resto es cero, dentro de la va a elevado a cero pero, como cualquier potencia elevado a cero da uno, en realidad no se escribe.
De lugar, vamos a ver el factor cinco.
Como el cociente es 3, el factor 5 sale de la raíz elevado a 3 y como el resto es 1, dentro del radicando lo dejamos elevado a 1, pero como el exponente uno no se escribe, dejamos solo la base 5.
De las dos formas obtenemos el mismo resultado, pero la segunda es mucho más rápida.
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical)
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 2
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 45b).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 2
En primer lugar, estamos todos los factores que hay dentro del radicando.
Forma lenta:
Agrupamos en potencias de 5, porque es una raíz de índice cinco.
Vamos ahora en la propiedad del producto de raíces de igual índice:
Para separar la raíz original como producto de raíces con el mismo índice:
La raíces de índice 5 con los radicandos elevados a la quinta potencia se anulan:
Asociamos los productos de fuera de la raíz:
Ya tenemos el resultado de nuestro ejercicio, pero vamos a calcular las potencias para simplificar más este radical.
Forma rápida:
Dividimos el exponente de cada factor entre el índice de la raíz. Al ser una raíz quinta, el índice es cinco.
Primero vamos a ver el factor 3.
Como el cociente es 2, el factor sale de la raíz elevado a 2 y como el resto es dos, dentro del radicando va a elevado también a 2.
En segundo lugar, vamos a ver el factor cinco.
Como el cociente es 1, el factor 5 sale de la raíz elevado a 1 y como el resto es 3, dentro del radicando lo dejamos elevado a 3.
De las dos formas obtenemos el mismo resultado, pero la segunda es mucho más rápida.
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical)
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 3
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 45c).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 3
En primer lugar, estamos todos los factores que hay dentro del radicando.
Forma lenta:
Agrupamos en potencias de 4, porque es una raíz de índice cuatro.
Vamos ahora en la propiedad del producto de raíces de igual índice:
Para separar la raíz original como producto de raíces con el mismo índice:
La raíces de índice 4 con los radicandos elevados a la cuarta potencia se anulan:
Asociamos los productos de fuera de la raíz:
Ya tenemos el resultado de nuestro ejercicio, pero vamos a calcular las potencias para simplificar más este radical.
Forma rápida:
Dividimos el exponente de cada factor entre el índice de la raíz. Al ser una raíz cuarta, el índice es cuatro.
Primero vamos a ver el factor 3.
Como el cociente es 4, el factor sale de la raíz elevado a 4 y como el resto es cero, dentro del radicando no dejamos el factor 3.
En segundo lugar, vamos a ver el factor 2.
Como el cociente es 1, el factor 2 sale de la raíz elevado a 1 y como el resto es 3, dentro del radicando lo dejamos elevado a 3.
De las dos formas obtenemos el mismo resultado, pero la segunda es mucho más rápida.
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical)
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 4
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 45d).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 4
Forma lenta:
Agrupamos en potencias de 4, porque es una raíz de índice cuatro.
Vamos ahora en la propiedad del producto de raíces de igual índice:
Para separar la raíz original como producto de raíces con el mismo índice:
La raíces de índice 4 con los radicandos elevados a la cuarta potencia se anulan:
Asociamos los productos de fuera de la raíz:
Forma rápida:
Dividimos el exponente de cada factor entre el índice de la raíz. Al ser una raíz cuarta, el índice es cuatro.
Primero vamos a ver el factor 11.
Como el cociente es 1, el factor sale de la raíz elevado a 1 y como el resto es también es 1, dentro del radicando dejamos el factor 11 elevado a 1.
En segundo lugar, vamos a ver el factor 7.
Como el cociente es 1, el factor 7 sale de la raíz elevado a 1 y como el resto es 3, dentro del radicando lo dejamos elevado a 3.
De las dos formas obtenemos el mismo resultado. Después de este ejercicio, sólo vamos a usar la forma más directa, ya que dominamos las fórmulas que nos permiten trabajar de este modo.
(Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical)
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 5
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 46a).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 5
a) Factorizamos el radicando
b) Extraer factores del radical
Dividimos el exponente de cada factor entre el índice de la raíz. Al ser una raíz cuadrada, el índice es dos.
Primero vamos a ver el factor 3.
Como el cociente es 1, el factor sale de la raíz elevado a 1 y como el resto es cero, dentro del radicando dejamos el factor 11 elevado a 1.
En segundo lugar, vamos a ver el factor 7.
Como el cociente es 1, el factor 7 sale de la raíz elevado a 1 y como el resto es 3, dentro del radicando lo dejamos elevado a 3.
De las dos formas obtenemos el mismo resultado. Después de este ejercicio, sólo vamos a usar la forma más directa, ya que dominamos las fórmulas que nos permiten trabajar de este modo.
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de una raíz)
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 6
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 46b).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 6
a) Factorizamos el radicando
Como el 2 y el 10 están a la misma potencia, podemos utilizar la fórmula del cociente de dos potencias con el mismo exponente para simplificar.
Entonces,
b) Extraer factores del radical
Como la fracción está elevada a la misma potencia que índice de la raíz, puede salir del radicando.
También podríamos hacer el producto de la fracción por la raíz y quedaría:
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 7
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 46c).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 7
a) Factorizamos el radicando
b) Extraer factores del radical
Como el exponente del radicando es el mismo que el índice de la raíz, se anulan entre sí y el factor puede salir de la raíz.
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de una raíz)
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 8
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 46d).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 8
a) Factorizamos el radicando
b) Extraer factores del radical
Como el 2 y el 5 están elevados al mismo exponente que el índice de la raíz, pueden salir del radicando. El 7 no puede salir.
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de una raíz – LeccionesDeMates.com)
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 9
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 77a).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 9
a) Factorizamos el radicando
b) Extraer factores del radical
Dividimos el exponente de cada factor entre el índice de la raíz. Al ser una raíz cúbica, el índice es tres.
Primero vamos a ver factores que hay en el numerador de la fracción, el 2 y la x. Es con el número dos,
Como el cociente es 2, el factor sale de la raíz elevado a 2 y como el resto es cero, dentro de la raíz va a elevado a cero pero, como cualquier potencia elevado a cero da uno, en realidad no se escribe.
En segundo lugar, probamos con el factor x.
Como el cociente es 3, el factor sale de la raíz elevado al cubo (3) y como el resto es cero, dentro de la raíz va a elevado a cero, por tanto, no se escribe este factor en el radicando.
Los factores 3 e y van multiplicando en el denominador, por tanto, saldrán como factores en el denominador de la fracción. Empezamos probando con el tres.
Como el cociente es 1, el factor sale de la raíz elevado a 1 y como el resto es cero, no se escribe. Por último, a ver si podemos extraer el factor y de dentro del radicando de la raíz.
Como el cociente es 1, el factor sale de la raíz elevado a 1 y como el resto es también 1, debemos dejar una y en el radicando. Recuerda que, como está en el denominador, debemos dejarla en el denominador.
Resumiendo,
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de una raíz – LeccionesDeMates.com)
Ejercicios resueltos de extraer factores de un radical 10
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 2 – ejercicio 77b).
Solución ejercicios resueltos de extraer factores de una raíz 10
Dividimos el exponente de cada factor entre el índice de la raíz. Al ser una raíz cúbica, el índice es tres.
Empezamos con el factor a:
Como el cociente es 3, el factor a sale de la raíz elevado a 3 y como el resto es dos, dentro de la raíz a va elevado al cuadrado (2). Por ahora, el resultado sería 
.
En segundo lugar, vamos a extraer el factor 
.
Como el cociente es 5, el factor sale de la raíz elevado a 5 y como el resto es uno, dejamos una b como factor en el radicando. El resultado parcial actualizado sería 
.
En tercer y último lugar, vamos a sacar de la raíz el factor 
.
Como el cociente es 7, el factor c sale de la raíz elevado a 7 y como el resto es cero, no se escribe dentro del radicando.Resumiendo,
En este enlace puedes practicar 4 ejercicios para extraer factores de raíces cuadradas.
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de una raíz – LeccionesDeMates.com)
Introducir factores
Introducir un factor dentro deuna raíz
Ejercicios resueltos de introducir factores en un radical
Este tipo de ejercicios se utilizan poco, ya que lo habitual se simplificar el radical y no amplificarlo. Sin embargo, después de unos primeros ejercicios para que practiques, veremos algunos donde sí es necesario introducir el factor para simplificar finalmente en un único radical.
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 1
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 1
En primer lugar vamos a elevar el factor a al cuadrado e introducirlo dentro de una raíz cuadrada:
Como las dos raíces son cuadradas, es decir, tiene el mismo índice podemos realizar el producto usando esta fórmula:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Finalmente, simplificamos las potencias del radicando:
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 2
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 2
En primer lugar vamos a elevar el factor a al cubo e introducirlo dentro de una raíz cúbica:
Como las dos raíces son homogéneas (mismo índice), es decir, podemos realizar el producto usando esta fórmula:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Finalmente, simplificamos las potencias del radicando:
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 3
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 3
En primer lugar vamos a elevar el factor 
al cubo e introducirlo dentro de una raíz cúbica:
Dentro de la primera raíz podemos simplificar la potencia.
Como las dos raíces son homogéneas (mismo índice), podemos realizar el producto usando esta fórmula:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Finalmente, simplificamos las potencias del radicando:
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 4
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 4
En primer lugar vamos a elevar los factores a la cuarta potencia e introducirlos dentro de una raíz de índice 4:
Dentro de las dos primeras raíces, podemos simplificar las potencias.
Como las tres raíces son homogéneas (mismo índice), podemos realizar el producto usando esta fórmula:
Este modo, el producto de las tres raíces quedaría:
Finalmente, simplificamos las potencias del radicando:
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 5
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 5
En primer lugar vamos a elevar los factores a la quinta potencia e introducirlos dentro de una raíz de índice 5:
Dentro de la primera raíz, podemos calcular la potencia de la fracción elevando el numerador y el denominador a 5.
Como las dos raíces son homogéneas (mismo índice), podemos realizar el producto usando esta fórmula:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Finalmente, simplificamos las potencias del radicando:
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 6
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 6
En primer lugar vamos a elevar el factor a al cubo e introducirlos dentro de una raíz cúbica (índice 3):
Como las dos raíces que hay dentro de la raíz cuadrada son homogéneas (mismo índice 3), podemos realizar el producto usando esta fórmula:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Recuerda que podemos simplificar raíz de una raíz con esta fórmula:
Entonces, podemos dejar una única raíz en el ejercicio:
Simplificamos las potencias del radicando.
Como el índice de la raíz y el exponente del único factor son pares, podemos simplificar recordando que
Así que el resultado simplificado es:
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical – LeccionesDeMates.com)
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 7
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 7
Este ejercicio tenemos varias raíces por lo que tenemos que ir introduciendo los factores desde los que están más en el exterior hacia dentro.
Por eso, vamos a empezar introduciendo el dos que está debajo de la raíz cuadrada. En primer lugar, vamos a elevar el factor 2 al cubo e introducirlo dentro de una raíz cúbica (índice 3):
Vamos a simplificar el producto de las dos raíces cubica usando esta fórmula:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Recuerda que podemos simplificar raíz de una raíz con esta fórmula:
Entonces, podemos dejar una única raíz en el ejercicio:
Simplificamos las potencias del radicando de la raíz de índice 6.
En este punto, vamos a introducir el factor 
dentro de la raíz del índice cuatro, para ello lo elevamos a cuatro y lo introducimos en una raíz cuarta.
Simplificamos las potencias de la primera raíz cuarta multiplicando sus exponentes.
En este momento, multiplicamos las dos raíces de índice cuatro.
Para terminar, calculamos la raíz de una raíz multiplicando sus índices y, a la vez, hacemos el producto de potencias del radicando.
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical – LeccionesDeMates.com)
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 8
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 8
Este ejercicio tenemos varias raíces por lo que tenemos que ir introduciendo los factores desde los que están más en el exterior hacia dentro.
Por eso, vamos a empezar introduciendo el dos que está debajo de la raíz cuadrada. En primer lugar, vamos a elevar el factor 2 a la cuarta potencia e introducirlo dentro de una raíz de índice 4:
Simplificamos el radicando de la primera raíz de índice 4 usando la fórmula de la potencia de otra potencia 
Aplicando la fórmula:
Como dentro de la raíz cuadrada tenemos el producto de dos raíz de índice 4, podemos aplicar la fórmula siguiente:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Recuerda que podemos simplificar raíz de una raíz con esta fórmula:
Entonces, podemos dejar una única raíz en el ejercicio:
Simplificamos las potencias del radicando de la raíz de índice 8.
En este punto, vamos a introducir el factor 
dentro de la raíz cuadrada, para ello lo elevamos a dos y lo introducimos en una raíz cuadrada.
Simplificamos las potencias de la primera raíz octava multiplicando sus exponentes.
En este momento, multiplicamos las dos raíces cuadradas.
Para ir terminando, calculamos la raíz de una raíz multiplicando sus índices y, a la vez, hacemos el producto de potencias del radicando.
Ya tenemos un único radical, pero podemos simplificarlo. Como el índice de la raíz y el exponente del radicando son múltiplos de 8, podemos simplificarlos entre 8 para obtener:
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical – LeccionesDeMates.com)
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 9
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 9
Empezar introduciendo la x que está fuera de la raíz cuadrada. Para ello, vamos a elevar el factor x al cuadrado e introducirlo dentro de una raíz también cuadrada:
Como los dos radicales son homogéneos (mismo índice) podemos multiplicarlos:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Multiplicamos el factor por la fracción
Y, simplificamos la fracción para obtener el resultado
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical – LeccionesDeMates.com)
Ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 10
Solución ejercicios resueltos de introducir factores en una raíz 10
Empezar introduciendo el único factor x que está fuera de la raíz cuadrada. Para ello, vamos a elevar la fracción al cuadrado e introducirla dentro de una raíz también cuadrada:
Como los dos radicales son homogéneos (mismo índice) podemos multiplicarlos:
Este modo, el producto de las dos raíces quedaría:
Multiplicamos las dos fracciones del radicando
Y, simplificamos la fracción para obtener el resultado
(Ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de un radical – LeccionesDeMates.com)
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Origen de los ejercicios
Estos ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de una raíz están tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generación de la editorial SM, así como ejercicios de cosecha propia. Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia.
