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Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas establecen relaciones pitagóricas entre las razones trigonométricas. Las relaciones pitagóricas entre las razones trigonométricas son unas identidades trigonométricas que expresan la relación entre el seno, el coseno, la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente de un ángulo. Estas relaciones se basan en el teorema de Pitágoras, que establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Estas relaciones se pueden obtener al considerar un triángulo rectángulo inscrito en un círculo unitario, es decir, un círculo de radio 1. En este caso, la hipotenusa del triángulo coincide con el radio del círculo, y los catetos corresponden a las coordenadas x e y del punto donde el triángulo corta al círculo. Además, el ángulo que forma el radio con el eje x coincide con el ángulo del triángulo, y se denota por \alpha.
Razones trigonométricas en la circunferencia goniométrica

Identidad trigonométrica entre seno y coseno

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo inscrito en el círculo unitario, se obtiene que:

Como x es la abscisa y y la ordenada del punto donde el triángulo corta al círculo, sabemos que estos valores corresponden al coseno y seno del ángulo \alpha, respectivamente. Es decir:
x = \cos \alpha

y = \sin \alpha

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, se obtiene la relación pitagórica entre seno y coseno:
Razones trigonométricas - Identidad fundamental de la trigonometría
Esta relación se puede usar para hallar el valor de una de las razones trigonométricas si se conoce el valor de la otra. Por ejemplo, si se sabe que \cos \alpha = \frac{1}{2}, se puede hallar el valor de \sin \alpha usando la relación pitagórica:

Identidades trigonométricas: ejemplo resuelto con el seno y el coseno.

El signo m√°s o menos depender√° del cuadrante del √°ngulo \alpha.

Identidad pitagórica entre tangente y secante

Si se divide la identidad fundamental de la trigonometría entre \cos^2 \alpha, se obtiene otra relación pitagórica entre la tangente y la secante del ángulo \alpha. Recordemos que la tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno, y la secante como el inverso del coseno. Es decir:
Razones trigonométricas - Tangente y secante

Dividiendo la relación pitagórica entre seno y coseno por Razones trigonométricas - coseno al cuadrado, se obtiene:
Identidades trigonométricas: tangente y secante.

Esta relación se puede usar para hallar el valor de una de las razones trigonométricas si se conoce el valor de la otra. Por ejemplo, si se sabe que \tan \alpha = 1, se puede hallar el valor de \sec \alpha usando la relación pitagórica:
Identidades trigonométricas: ejemplo resuelto con la secante y la tangente.
donde el signo del √°ngulo depender√° del cuadrante al que pertenezca \alpha.

Identidad trigonométrica entre cotangente y cosecante

Si se divide la identidad fundamental de la trigonometría por Razones trigonométricas - seno al cuadrado, se obtiene otra relación pitagórica entre la cotangente y la cosecante del ángulo \alpha. Recordemos que la cotangente se define como el inverso de la tangente, y la cosecante como el inverso del seno. Es decir:
Definiciones de Cotangente y cosecante para calcular su relación pitagórica

Dividiendo la relación pitagórica entre seno y coseno por \sin^2 \alpha, se obtiene:

Identidades trigonométricas: cotangente y cosecante.

Ejercicio identidades trigonométricas 1

Calcula (usando las identidades trigonom√©tricas) las restantes razones trigonom√©tricas (incluidas las inversas) del √°ngulo őĪ¬† sabiendo que \sin \alpha =-\frac{1}{3} y 270¬ļ<őĪ<360¬ļ.

Solución ejercicio identidades trigonométricas resuelto 1

1) Coseno:

Como \sin \alpha \left (-\frac{1}{3} \right ), aplicando el identidad fundamental de la trigonometría, \sin^2 (\alpha) + \cos^2 (\alpha) = 1

Sustituyendo en la identidad,

\begin {} {\color{Black} \left ( -\frac{1}{3} \right ) ^2+\cos^2(\alpha) = 1} \\ \\ \frac{1}{9}+\cos^2(\alpha) = 1 \\ \end{}

Ahora, resolvemos restando un noveno en los dos términos.

\begin {} {\color{Black} \frac{1}{9}+\cos^2(\alpha) } - \frac{1}{9}= {\color{Black} 1 -} \frac{1}{9}\\ \\ {\color{Black} \cos^2(\alpha) } = {\color{Black} \frac{9}{9} -} \frac{1}{9}\\ \\ {\color{Black} \cos^2(\alpha) } = {\color{Black} \frac{8}{9}}\\ \\ {\color{Black} \cos(\alpha) } = {\color{Black} \sqrt{\frac{8}{9}}}\\ \\ {\color{Black} \cos(\alpha) } = {\color{Black} \frac{\sqrt{8}}{3}}\\ \\ {\color{Black} \cos(\alpha) } = {\color{Black} \frac{\2\cdot \sqrt{2}}{3}}\\ \end{}

El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante es positivo, por eso nos hemos quedado con la solución positiva.

2) Tangente:

tan(\alpha)= \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

Sustituimos los valores del seno y coseno por los obtenidos en el apartado anterior.

tan(\alpha)= \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{3}{2\cdot 3 \cdot \sqrt{2}}=-\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Racionalizamos

-\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=-\frac{\sqrt{2}}{4}

3) Cosecante:

La cosecante es la inversa del seno, por lo tanto:

\csc(\alpha)= \frac{1}{\sin(\alpha)} = \frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3

4) Secante:

La secante es la inversa del coseno del √°ngulo.

\sec(\alpha)= \frac{1}{\cos(\alpha)} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}

Si racionalizamos

\frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2\cdot 2}} =\frac{3\sqrt{2}}{4}

5) Cotangente:

La cotangente es la razón trigonométrica inversa de la tangente, por tanto,

\cot(\alpha)= \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}=-\frac{4}{\sqrt{2}}

Ahora, racionalizamos.

-\frac{4}{\sqrt{2}}=-\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = - \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=- \frac{4\sqrt{2}}{2}= -2\sqrt{2}

 

Ejercicio identidades trigonométricas 2

Calcula (usando las identidades trigonom√©tricas) las restantes razones trigonom√©tricas (incluidas las inversas) del √°ngulo őĪ sabiendo que coseno del √°ngulo da dos tercios.¬†y 270¬ļ<őĪ<360¬ļ.

Solución ejercicio identidades trigonométricas resuelto 2

1) Seno:

Como \cos \alpha= \left (\frac{2}{3} \right ), aplicando el identidad fundamental de la trigonometría, Identidad fundamental de trigonometría

Sustituyendo en la identidad,

Identidades trigonométricas: calcular el seno del ángulo dado su coseno.

El resultado de la ra√≠z es negativo porque el seno de los √°ngulos del 4¬ļ cuadrante es negativo.

Identidades trigonométricas ejercicios resueltos.

2) Tangente:

La tangente de un √°ngulo se define como el cociente entre el seno y el coseno de dicho √°ngulo.

Definición de tangente de un ángulo

Sustituimos los valores del seno y coseno por los obtenidos en el apartado anterior.

Ejercicios resueltos de identidades trigonométricas - calcula la tangente dado el seno y coseno.

3) Secante:

La secante es la inversa del coseno del √°ngulo.

Ejercicios resueltos de identidades trigonométricas - Calcular la secante dado el coseno del ángulo.

4) Cosecante:

La cosecante es la inversa del seno, por lo tanto:

Ejercicios resueltos de identidades trigonométricas - Calcular la cosecante dado el seno del ángulo y racionalizando.

5) Cotangente:

La cotangente es la razón trigonométrica inversa de la tangente, por tanto,

Ejercicios resueltos de identidades trigonométricas - Calcular la cotangente como la inversa de la tangente del ángulo.

 

Ejercicio identidades trigonométricas 3

Calcula (usando las identidades trigonom√©tricas) las restantes razones trigonom√©tricas (incluidas las inversas) del √°ngulo őĪ sabiendo que \sin \alpha =\frac{3}{5} y 0¬ļ<őĪ<90¬ļ.

Solución ejercicio identidades trigonométricas resuelto 3

1) Coseno:

Como \sin \alpha= \frac{3}{5}, aplicando el identidad fundamental de la trigonometría, Identidad fundamental de trigonometría

Sustituyendo en la identidad,

\begin{aligned}sen^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha& =1\\ \left( \dfrac{3}{5}\right) ^{2}+\cos ^{2}\alpha &=1\\ \dfrac{9}{25}+cos^{2}&=1\\ \cos ^{2}\alpha &=\dfrac{25}{25}-\dfrac{9}{25}\\ \cos ^{2}\alpha &=\dfrac{16}{25}\\ \cos \alpha &=\sqrt{\dfrac{16}{25}}\\ \cos \alpha &=\pm \dfrac{4}{5}\\ \end{aligned}

Como el √°ngulo pertenece al primer cuadrante, el coseno ser√° positivo.

\cos \alpha =\dfrac{4}{5}\.

2) Tangente:

La tangente de un √°ngulo se define como el cociente entre el seno y el coseno de dicho √°ngulo.

Definición de tangente de un ángulo

Sustituimos los valores del seno y coseno por los obtenidos en el apartado anterior.

\begin{aligned}\tan \alpha &=\dfrac{sen\alpha }{\cos \alpha }\\ \\ \tan \alpha &=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\dfrac{3}{4}\end{aligned}

3) Secante:

La secante es la inversa del coseno del √°ngulo.

\begin{aligned}\sec \alpha &=\dfrac{1}{\cos \alpha }\\ \sec \alpha &=\dfrac{1}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{5}{4}\end{aligned}

4) Cosecante:

La cosecante es la inversa del seno, por lo tanto:

\begin{aligned}\csc \alpha &=\dfrac{1}{\sin \alpha }\\ \csc \alpha &=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{3}\end{aligned}

5) Cotangente:

La cotangente es la razón trigonométrica inversa de la tangente, por tanto,

\begin{aligned}\cot \alpha &=\dfrac{1}{\tan \alpha }\\ \cot \alpha &=\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{4}{3}\end{aligned}

 

Ejercicio identidades trigonométricas 4

Calcula (usando las identidades trigonom√©tricas) las restantes razones trigonom√©tricas (incluidas las inversas) del √°ngulo őĪ sabiendo que \cos(\beta) = -\frac{5}{13} y 90¬ļ<őĪ<180¬ļ.

Solución ejercicio identidades trigonométricas resuelto 4

Dado que \cos(\beta) = -\frac{5}{13}, encuentra el valor de las demás razones trigonométricas del ángulo \beta.

Dado que \cos(\beta) = -\frac{5}{13}, podemos usar la identidad fundamental de la trigonometría:

Identidad fundamental de la trigonometría

  1. Seno

Para encontrar el seno, usamos la identidad y despejamos:

Ejercicio resuelto 4 de identidades trigonométricas

Dado que el ángulo está en el segundo cuadrante, ya que \cos(\beta)  es negativo, el seno será positivo. Entonces:

\sin(\beta) = \frac{12}{13}

2) Tangente del √°ngulo

Para encontrar la tangente, usamos la definición de la tangente:

Ejemplo resuelto para calcular la tangente mediante las identidades trigonométricas.

Para encontrar las demás razones trigonométricas, podemos utilizar las identidades trigonométricas:

Uso de las identidades trigonométricas para calcular las razones inversas cosecante, secante y cotangente.

Entonces, para \cos(\beta) = -\frac{5}{13}, las demás razones trigonométricas son:

Razones trigonométricas calculadas dado el coseno del ángulo mediante las identidades trigonométricas. Ejemplo resuelto 4

Esta solución muestra cómo usar otra identidad trigonométrica para encontrar las demás razones trigonométricas dado un valor específico.

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Demostración de identidades trigonométricas

Ejercicios resueltos de demostraciones trigonométricas

Un tipo de ejercicios muy típico cuando estudiamos las identidades trigonométricas es el de demostrar una igualdad entre dos expresiones trigonométricas que tenemos que verificar utilizando las identidades trigonométricas y las definiciones de las razones trigonométricas. Para ello, te aconsejo que partas desde la expresión más compleja de las dos y vayamos dando pasos hasta obtener la más compleja y demostrar, por tanto, que las dos expresiones forman una identidad trigonométrica.

Ejercicio demostración de identidades trigonométricas 1

Demuestra la identidad trigonométrica \frac{{1 - \sin(x)}}{{\cos(x)}} = \frac{{\cos(x)}}{{1 + \sin(x)}} usando las propiedades trigonométricas.

Solución ejercicio de demostración de identidades trigonométricas 1

Solución:

Comenzamos haciendo el producto en cruz de las dos fracciones. Recuerda que dos fracciones son equivalentes si su producto en cruz también lo es.

\begin{aligned} \dfrac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }\\ \left( 1-\sin \alpha \right) .\left( 1+\sin \alpha \right) =\cos \alpha \cdot \cos \alpha \\ \end{aligned}

A la izquierda utilizamos las expresión notable del producto de una suma por su diferencia.

\begin{aligned} \left( 1-\sin \alpha \right) .\left( 1+\sin \alpha \right) =\cos \alpha \cdot \cos \alpha \\ 1^{2}-sin^{2}\alpha =cos^{2}\alpha \\ \end{aligned}

Despejamos: \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) de la identidad fundamental de la trigonometría y sustituimos:

\begin{aligned} 1^{2}-sin^{2}\alpha =cos^{2}\alpha \\ \cos ^{2}\alpha =\cos ^{2}\alpha \end{aligned}

Por lo tanto, las expresiones son iguales y la identidad trigonométrica queda demostrada usando las propiedades de la trigonometría.

Ejercicio de demostración de identidades trigonométricas 2

Demuestra la identidad trigonométrica \begin{aligned}\dfrac{1+\sin \alpha }{\cos \alpha }+\dfrac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }=2\sec \alpha \\ \end{aligned} usando las propiedades trigonométricas.

Solución ejercicio de demostración de identidades trigonométricas 2

Solución:

Partimos desde la expresión más compleja que está a la izquierda y trataremos de llegar a la de la derecha.

\begin{aligned}\dfrac{1+\sin \alpha }{\cos \alpha }+\dfrac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }=2\sec \alpha \\ \end{aligned}

Vamos a sumar las dos fracciones de la izquierda.

\begin{aligned} \dfrac{\left( 1+\sin \alpha \right) ^{2}}{\cos \alpha \cdot \left( 1+\sin \alpha \right) }+\dfrac{\left( \cos \alpha \right) ^{2}}{\left( 1+\sin \alpha \right) \cdot \cos \alpha }=\\ \\ \dfrac{1^{2}+2\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha }{\cos \alpha \cdot \left( 1+\sin \alpha \right) }=\\ \end{aligned}

En el numerador a la derecha vemos que es uno de los términos de la identidad fundamental de la trigonometría por lo que sustituimos la suma al cuadrado del seno y la del cuadrado del coseno por 1.

\begin{aligned} \dfrac{1^{2}+2\sin \alpha +{\color{Red} \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha} }{\cos \alpha \cdot \left( 1+\sin \alpha \right) }=\\ \\ \dfrac{1+2\sin \alpha {\color{Red} +1}}{\cos \alpha \cdot \left( 1+\sin \alpha \right) }=\\ \end{aligned}

Simplificamos el numerador.

\begin{aligned} \dfrac{{\color{Red} 1}+2\sin \alpha {\color{Red} +1}}{\cos \alpha \cdot \left( 1+\sin \alpha \right) }=\\ \\ \dfrac{{\color{Red} 2}+2\sin \alpha }{cos\alpha \cdot \left( 1+\sin \alpha \right) }=\\ \end{aligned}

Sacamos factor com√ļn 2 en el numerador.

\begin{aligned} \dfrac{{\color{Red} 2+2}\sin \alpha }{cos\alpha \cdot \left( 1+\sin \alpha \right) }=\\ \\ \dfrac{{\color{Red} 2\cdot} \left( 1+\sin \alpha \right) }{\cos \alpha \cdot \left( 1+\sin \alpha \right) }=\\ \end{aligned}

Despu√©s, nos aparece un factor com√ļn repetido tanto en el numerador y en denominador por lo que podemos simplificar.

\begin{aligned} \dfrac{2\cdot {\color{Red} \left( 1+\sin \alpha \right)} }{\cos \alpha \cdot{\color{Red} \left( 1+\sin \alpha \right)} }=\\ \\ \dfrac{2}{\cos \alpha }=\\ \end{aligned}

Sustituimos el coseno por la inversa de la secante.

\begin{aligned} \dfrac{2}{{\color{Red} \cos \alpha} }=\\ \\ \dfrac{2}{{\color{Red} \dfrac{1}{\sec \alpha} }}=\\ \end{aligned}

Y simplificamos la división para obtener la expresión que buscábamos.

\begin{aligned} \dfrac{2}{\dfrac{1}{\sec \alpha }}=\\ \\ {\color{Red} 2\sec \alpha} \end{aligned}

Por lo tanto, las expresiones son iguales y la identidad trigonométrica queda demostrada usando las propiedades de la trigonometría.

Ejercicio de demostración de identidades trigonométricas 3

Demuestra la identidad trigonométrica \begin{aligned} \left( \sin \alpha +\cos \alpha \right) ^{2}=1+\dfrac{2\sin \alpha }{\sec \alpha }\\ \end{aligned} usando las propiedades trigonométricas.

Solución ejercicio de demostración de identidades trigonométricas 3

Solución:

Partimos desde la expresión más compleja que está a la izquierda y trataremos de llegar a la de la derecha.

\begin{aligned} \left( \sin \alpha +\cos \alpha \right) ^{2}=1+\dfrac{2\sin \alpha }{\sec \alpha }\\ \end{aligned}

Vamos a desarrollar la expresión del cuadrado de una suma que tenemos a la derecha. Como

\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Vamos a trabajar como si a fuera el seno y b fuera el coseno.

\begin{aligned} \left( \sin \alpha +\cos \alpha \right) ^{2}=\\ \sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cdot \cos \alpha +\cos ^{2}\alpha =\\ \end{aligned}

Sustituimos los términos primero y tercero por 1 debido a la identidad fundamental de la trigonometría.

\begin{aligned} {\color{Red} \sin ^{2}\alpha} +2\sin \alpha \cdot \cos \alpha +{\color{Red} \cos ^{2}\alpha} =\\ {\color{Red} 1}+2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \\ \end{aligned}

Sustituimos el coseno por su razón inversa, la secante.

\begin{aligned} 1+2\sin \alpha \cdot {\color{Red} \cos \alpha} \\ 1+2\sin \alpha \cdot{\color{Red} \dfrac{1}{\sec \alpha }=}\\ \end{aligned}

Multiplicamos y obtenemos la expresión de la derecha de la identidad.

\begin{aligned} 1+2\sin \alpha \cdot \dfrac{1}{\sec \alpha }=\\ \\ {\color{Red} 1+\dfrac{2sin\alpha }{\sec \alpha} } \end{aligned}

Por lo tanto, las expresiones son iguales y la identidad trigonométrica queda demostrada usando las propiedades de la trigonometría.

Ejercicio de demostración de identidades trigonométricas 4

Demuestra la identidad trigonométrica \begin{aligned} \tan \alpha +\cot \alpha =\sec \alpha \cdot \csc \alpha \\ \end{aligned} usando las propiedades trigonométricas.

Solución ejercicio de demostración de identidades trigonométricas 4

Solución:

Partimos desde la expresión más compleja que está a la izquierda y trataremos de llegar a la de la derecha.

\begin{aligned} \tan \alpha +\cot \alpha =\sec \alpha \cdot \csc \alpha \\ \end{aligned}

Usamos las definiciones de tangente y cotangente para ponerlas en función del seno y del coseno del ángulo.

\begin{aligned} {\color{Red} \tan \alpha }+{\color{Green} \cot \alpha =} \\ {\color{Red} \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}+{\color{Green} \dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\\ \end{aligned}

Vamos a sumar las dos fracciones reduciendo primero a com√ļn denominador.

\begin{aligned} \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\\ \\ \dfrac{\sin \alpha {\color{Red} \cdot \sin\alpha} }{\cos \alpha {\color{Red} \cdot \sin \alpha} }+\dfrac{\cos \alpha {\color{Red} \cdot \cos \alpha} }{\sin \alpha {\color{Red} \cdot \cos \alpha} }=\\ \end{aligned}

Sumamos las dos fracciones.

\begin{aligned} \dfrac{\sin \alpha \cdot \sin\alpha }{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }+\dfrac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }=\\ \\ \dfrac{\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha }{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }=\\ \end{aligned}

Sustituimos el numerador por 1 usando la identidad fundamental de la trigonometría.

\begin{aligned} \dfrac{{\color{Red} \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha} }{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }=\\ \\ \dfrac{{\color{Red} 1}}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }=\\ \end{aligned}

Separamos el producto en dos fracciones que se multiplican.

\begin{aligned} \dfrac{1}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }=\\ \\ \dfrac{1}{\cos \alpha }\cdot \dfrac{1}{\sin \alpha }=\\ \end{aligned}

Cambiamos las fracciones por las razones inversas del seno y coseno.

\begin{aligned} {\color{Red} \dfrac{1}{\cos \alpha }}\cdot {\color{Blue} \dfrac{1}{\sin \alpha }}\\ \\ {\color{Red} \sec \alpha} \cdot {\color{Blue} \csc \alpha} \end{aligned}

Y obtenemos la misma expresión que teníamos a la derecha de la identidad trigonométrica por lo que ya la tenemos demostrada.

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Razones trigonométricas, teoría y ejercicios resueltos
Razones trigonom√©tricas de los √°ngulos notables 30¬ļ, 45¬ļ y 60¬ļ
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