Potencia y raíz de una raíz

Ejercicios resueltos de potencia y raíces de radicales

En este articulo encontrarás como realizar la potencia y raíz de una raíz y muchos ejercicio resueltos con soluciones paso a paso para que practiques tus conocimientos de Matemáticas.

Potencia de radicales

¿Cómo se calcula la potencia de un radical o raíz?

“Para elevar una raíz o radical a una potencia, elevamos el radicando a dicha potencia.

Ten en cuenta:

  • El índice de la raíz no se ve alterado por la potencia

¿Cuál es la fórmula de la potencia de una raíz o radical?

  • Fórmula: para elevar una raíz a un potencia, dejamos el índice de la raíz igual y elevamos el radicando a dicha potencia: \left ( \sqrt[n]{a} \right )^m=\sqrt[n]{a^m}

Sigue más abajo para encontrar ejercicios resueltos de radicales.

Nivel recomendado de Matemáticas: 3º y 4º de ESO.

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Ejercicios resueltos de potencia de radicales

En 3º de ESO, se trabaja en profundidad el tema de los raíces o radicales y se repasa en 4º de ESO. Las operaciones de potencia y raíz de radicales son muy importantes para simplificar radicales. Vamos a realizar algunos ejemplos para que puedas practicar. Recuerda que es importante que primero los intentes resolver tú mismo y, luego, mires la solución y los pasos hasta llegar a ella. Vamos a comenzar con los ejercicios resueltos.

Potencia de una raíz o radical 1

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 1 potencia de una raíz

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

Ahora, simplificamos el radicando elevando la potencia al exponente con la fórmula

Podemos simplificar la raíz ya que 3 y 12 tienen divisores comunes.

Potencia de una raíz o radical 2

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 2 potencia de una raíz

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

Podemos simplificar la raíz extrayendo factores ya que su exponente es mayor o igual al índice de la raíz.

Potencia de una raíz o radical 3

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 3 potencia de una raíz

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

No podemos simplificar la raíz extrayendo factores ya que su exponente es menor que el índice de la raíz.

Potencia de una raíz o radical 4

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 4 potencia de una raíz

Ejercicios resueltos de potencia de un radical o raíz

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

Ejercicios resueltos de potencia de un radical o raíz

Ahora, simplificamos el radicando porque su exponente y el índice tienen divisores comunes.

Ejercicios resueltos de potencia de un radical o raíz

Resolvemos con la fórmula de la potencia de un producto Fórmula potencia de un producto

Ejercicios resueltos de potencia de un radical o raíz

Potencia de una raíz o radical 5

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 5 potencia de una raíz

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

Ahora, simplificamos el radicando porque su exponente y el índice tienen divisores comunes.

Resolvemos con la fórmula del cuadrado de una suma

Ejercicios resueltos de potencia de radicales 5 – Lecciones de Mates

Potencia de un radical o raíz 6

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 6 potencia de un radical

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

Ahora, simplificamos el radicando porque su exponente y el índice tienen divisores comunes.

Resolvemos con la fórmula de la potencia de un producto en el numerador y del cuadrado de una resta  en el denominador.

Potencia de un radical o raíz 7

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 7 potencia de un radical

Ejercicios resueltos de potencia de radicales

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

Ejercicios resueltos de potencia de radicales

Ahora, simplificamos el radicando porque su exponente y el índice tienen divisores comunes.

Ejercicios resueltos de potencia de radicales

Resolvemos con la fórmula de la potencia de un producto Potencia de un producto

Ejercicios resueltos de potencia de radicales

Potencia de un radical o raíz 8

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 8 potencia de un radical

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

Ahora, simplificamos el radicando porque su exponente y el índice tienen divisores comunes.

Resolvemos con la fórmula de la potencia de un producto

Potencia de un radical o raíz 9

Opera y simplifica

Solución ejercicio resuelto 9 potencia de un radical

Potencia de una raíz - Ejercicios resueltos

Para elevar una raíz a una potencia, únicamente debemos elevar el radicando dejando el índice igual.

Potencia de una raíz - Ejercicios resueltos

Ahora, simplificamos el radicando extrayendo factores, ya que el exponente es mayor o igual que el índice de la raíz.

Potencia de una raíz - Ejercicios resueltos

Resolvemos con la fórmula de la potencia de un producto Cuadrado de una diferencia en el numerador y elevando el denominador.

Potencia de una raíz - Ejercicios resueltos

Raíz de una raíz o radical

¿Qué es la raíz de otra raíz?

Se trata de calcular la raíz de un término que ya contiene otra raíz o radical, por ejemplo, \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}= se trataría de calcular la raíz de índice m de otro radical de índice n cuyo radicando sería a.

¿Cómo se calcula la raíz de otra raíz?

  1. Multiplicamos los índices de las dos raíces.
  2. Dejamos el radicando de la raíz sin cambios.

¿Cuál es la fórmula de la raíz de un radical?

Para calcular la raíz de un radical, multiplicamos los índices y dejamos el mismo radicando.

{\color{Golden} \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}}

amn=an·m

{\color{White} \sqrt[n]{\sqrt[m]{a} }=\sqrt[n\cdot m]{a}}

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Ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical

Ejemplos para Matemáticas de 3º y 4º de ESO

Estos ejemplos están recomendados principalmente para 3º de ESO, que es cuando se introduce este concepto matemático y 4º de ESO, curso en el que se repasa.

Ejercicio resuelto 1 de raíz de una raíz

Opera y simplifica.

Solución ejercicio resuelto 1 de raíz de una raíz

Para calcular la raíz de un radical usamos la fórmula  de forma que multiplicamos los índices y dejamos radicando sin cambios

Intentamos factorizar el radicando para ver si podemos simplificar la raíz.

Como el índice de la raíz y el exponente del radicando no tienen divisores comunes (distintos del uno) no podemos simplificar y como el exponente del radicando es menor que el índice, tampoco podemos extraer factores.

Ejercicio resuelto 2 de raíz de una raíz

Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical 2

Para calcular la raíz de un radical usamos la fórmula  de forma que multiplicamos los índices y dejamos radicando sin cambios

Intentamos factorizar el radicando para ver si podemos simplificar la raíz.

Como el índice de la raíz y el exponente del radicando no tienen divisores comunes (distintos del uno) no podemos simplificar y como el exponente del radicando es menor que el índice, tampoco podemos extraer factores.

(Ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical 2 – LeccionesDeMates.com)

Ejercicio resuelto 3 de raíz de una raíz

Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical 3

Para calcular la raíz de un radical usamos la fórmula  de forma que multiplicamos los índices y dejamos radicando sin cambios

Intentamos factorizar el radicando para ver si podemos simplificar la raíz.

Como el índice de la raíz y el exponente del radicando son iguales, se pueden eliminar.

(Ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical 3 – LeccionesDeMates.com)

Ejercicio resuelto 4 de raíz de una raíz

Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical 4

Para calcular la raíz de un radical usamos la fórmula  de forma que multiplicamos los índices y dejamos radicando sin cambios

Como el índice de la raíz y el exponente del radicando son iguales, se pueden simplificar como hemos hecho en el ejercicio anterior.

(Ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical 4 – LeccionesDeMates.com)

Ejercicio resuelto 5 de raíz de una raíz

Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical 5

Para calcular la raíz de un radical usamos la fórmula  de forma que multiplicamos los índices y dejamos radicando sin cambios

\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{2a^{3}}}=\\ \sqrt[2\cdot 2] {2a^{3}}\\ \sqrt[4] {2a^{3}} \end{aligned}

Como todos los exponentes del radicando son menores que el índice, no podemos extraer factores.

Ejercicio resuelto 6 de raíz de una raíz

Opera y simplifica.

\begin{aligned}\sqrt{a\cdot \sqrt{a}}=\\ \end{aligned}

Solución ejercicios resueltos de raíz de una raíz o radical 5

\begin{aligned} \sqrt{a\cdot \sqrt{a}}=\\ \end{aligned}

El primer lugar, vamos a introducir el factor a dentro de la raíz interior elevándolo a su índice (2).

\begin{aligned} \sqrt{a\cdot \sqrt{a}}=\\ \sqrt{\sqrt{a\cdot a^{2}}}=\\ \end{aligned}

En segundo lugar, simplificamos el radicando utilizando, para ello, la fórmula del producto de dos potencias con la misma base.  

\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{a\cdot a^{2}}}=\\ \sqrt{\sqrt{a^{3}}}=\\ \end{aligned}

Para calcular la raíz de un radical usamos la fórmula  multiplicando los índices de las dos raíces y dejamos el radicando sin modificar.

\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{a^{3}}}=\\ \sqrt[2\cdot 2] {a^{3}}=\\ \sqrt[4] {a^{3}} \end{aligned}

Como el exponentes del radicando es menor que el índice, no podemos extraer factores y tampoco tienen divisores comunes por lo que no podemos simplificar la expresión de este ejemplo.

Ejercicio resuelto 7 de raíz de una raíz

Opera y simplifica.

\begin{aligned}\sqrt{2\cdot \sqrt{2}}=\\ \end{aligned}

Solución ejercicios resueltos de raíz de un radical 7

{\color{Red} \sqrt[4]{8}}\begin{aligned} \sqrt{2\cdot \sqrt{2}}=\\ \end{aligned}

El primer lugar, vamos a introducir el factor a dentro de la raíz interior elevándolo a su índice (2).

\begin{aligned} \sqrt{2\cdot \sqrt{2}}=\\ \sqrt{\sqrt{2\cdot 2^{2}}}=\\ \end{aligned}

En segundo lugar, simplificamos el radicando utilizando, para ello, la fórmula del producto de dos potencias con la misma base.

\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{2\cdot 2^{2}}}=\\ \sqrt{\sqrt{2^{3}}}=\\ \end{aligned}

Para calcular la raíz de un radical usamos la fórmula  multiplicando los índices de las dos raíces y dejamos el radicando sin modificar.

\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{2^{3}}}=\\ \sqrt[2\cdot 2] {2^{3}}=\\ \sqrt[4] {2^{3}} \end{aligned}

Como el exponentes del radicando es menor que el índice, no podemos extraer factores y tampoco tienen divisores comunes por lo que no podemos simplificar la expresión de este ejemplo.

El último paso será calcular la potencia del radicando.

\sqrt[4]{8}

Ejercicio resuelto 8 de raíz de una raíz

Opera y simplifica.

\begin{aligned} {\color{Red} \sqrt[3] {\dfrac{a}{b}\cdot \sqrt{\dfrac{b}{a}}}=} \end{aligned}

Solución ejercicios resueltos de raíz de un radical 8

\begin{aligned} {\color{Red} \sqrt[3] {\dfrac{a}{b}\cdot \sqrt{\dfrac{b}{a}}}=} \end{aligned}

El primer lugar, vamos a introducir el factor a dentro de la raíz interior elevándolo a su índice (2).

\begin{aligned} \sqrt[3] {{\color{Red} \dfrac{a}{b}}\cdot \sqrt{\dfrac{b}{a}}}=\\ \sqrt[3] {\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot { \left( {\color{Red} \dfrac{a}{b}}\right) ^{2}}}}= \end{aligned}

Para calcular la raíz de un radical usamos la fórmula  multiplicando los índices de las dos raíces y dejamos el radicando sin modificar.

\begin{aligned} \sqrt[3] {\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot \left( \dfrac{a}{b}\right) ^{2}}}=\\ \sqrt[{\color{Red} 6}] {\dfrac{b}{a}\cdot \dfrac{a^{2}}{b^{2}}}=\\ \end{aligned}

Simplificamos las fracciones del radicando.

\begin{aligned} \sqrt[6] {\dfrac{b}{a}\cdot \dfrac{a^{2}}{b^{2}}}=\\ \sqrt[6] {\dfrac{a^{2}\cdot b}{a\cdot b^{2}}}=\\ {\color{Red} \sqrt[6] {\dfrac{a}{b}}}\end{aligned}

Origen de los ejercicios

Estos ejercicios resueltos de introducir y extraer factores de una raíz están tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generación de la editorial SM, así como ejercicios de cosecha propia. Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

Racionalización de denominadores - Lecciones De Mates
Introducir y extraer factores de una raíz

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Resumen
Potencia y raíz de una raíz - ejercicios resueltos
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Potencia y raíz de una raíz - ejercicios resueltos
Descripción
Potencia y raíz de una raíz 20 ejercicios resueltos paso a paso de radicales. Recomendado para Matemáticas de 3º y 4º de ESO. ¿Cómo se hace la potencia de una raíz? ¿Y cómo resolvemos la raíz de otra raíz? Aquí aprenderás a hacer estas operaciones.
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