Problemas Resueltos Ecuaciones y Geometría

Problemas de ecuaciones y Geometría resueltos

“Resolvemos varios problemas de Geometría (áreas, perímetros y dimensiones de figuras geométricas) mediantes el uso de ecuaciones de primer y segundo grado.

Pasos para resolver un problema de Geometría con ecuaciones

  1. Dibujar la figura y escribir los datos. Decidir quién será la incógnita.
  2. Plantear una ecuación que resolverá el problema.
  3. Encontrar la solución o las soluciones de dicha ecuación.
  4. Comprobar si las soluciones son válidas e indicar las unidades correctamente.
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Problemas de Geometría resueltos

Problemas resueltos con ecuaciones de primer grado

En 1º y 2º  de ESO, se trabaja en profundidad el tema de los problemas de ecuaciones. Uno de los tipos más importantes lo forman los problemas de ecuaciones con temática de Geometría. Se trata de hallar el área, perímetro o alguna de las dimensiones de una figura geométrica. En este apartado, vamos a ver varios problemas resueltos con ecuaciones de primer grado.

Problema de Geometría resuelto con ecuaciones de primer grado 1

Un lado de un rectángulo mide 2 cm más que el doble del otro lado. Si al lado mayor se le quitan 3 cm que se añaden al lado menor, el rectángulo se transforma en un cuadrado. Halla el área de este cuadrado.

(Adaptado de Matemáticas SM Savia NG – 3º de ESO – Tema 02 – Ejercicio  Autoevaluación 8a)

Solución problema resuelto 1 con ecuaciones de primer grado

1) Datos

Si consideramos que la altura del rectángulo azul mide entonces la base será el doble más dos, es decir, . El problema nos indica que si restamos 3 a la base y sumamos 3 a la altura, el rectángulo se convierte en un cuadrado, por eso, los lados del cuadrado se aumentan y disminuyen en 3 unidades en el dibujo verde de la derecha.

Problemas de ecuaciones y Geometría - Rectángulo y cuadrado

2) Planteamiento

Un cuadrado es un rectángulo que tiene todos los datos iguales, por tanto, las dos expresiones de la figura verde que indican cuánto miden sus lados deben ser equivalentes:

Problemas de ecuaciones y Geometría - Ecuación de primer grado

3) Resolvemos la ecuación de primer grado

Vamos a quitar los paréntesis. Como delante no tiene ningún signo, se pueden quitar sin modificar nada.

Simplificamos los términos semejantes en el miembro de la izquierda.

Sumamos 1 en los dos miembros

2x-1{\color{Red} +1}=x+3{\color{Red} +1}

Y simplificamos

Restamos x en los dos miembros.

2x{\color{Red} -x}=x+4{\color{Red} -x}

Finalmente, simplificamos las dos expresiones algebraicas y obtenemos la solución de la ecuación de primer grado.

Problemas de ecuaciones y Geometría - Solución de la ecuación

4) Interpretamos la solución

Si repasamos el enunciado del problema, nos piden finalmente obtener el área del cuadrado. La fórmula adecuada es

Fórmula del área de un cuadrado

Por lo tanto, tenemos que obtener el lado del cuadrado con alguna de las dos expresiones que pusimos en el cuadrado de color verde inicial.

Como puedes observar, el resultado de la longitud del lado del cuadrado no cambia.

Finalmente, calculamos el área del cuadrado.

Problemas de ecuaciones y Geometría - Solución del problema

(Problemas resueltos de Geometría con ecuaciones de primer grado – LeccionesDeMates.com)

Problema de Geometría resuelto con ecuaciones de primer grado 2

En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide 5 cm más que el tercer lado. Si tiene 70 cm de perímetro, ¿cuánto mide cada lado?

(Adaptado de Matemáticas SM Savia NG – Ejercicio  58)

Solución problema resuelto 1 con ecuaciones de primer grado

1) Datos

Si consideramos que la base del rectángulo isósceles (que significa que tiene dos lados iguales) de color rojo mide , entonces, los lados iguales tendrán 5 cm más de longitud, es decir, . El problema nos indica que el perímetro del triángulo es de 70 cm.

Longitud de los lados de un triángulo isósceles - Problemas de Geometría y ecuaciones

2) Planteamiento

El perímetro de un triángulo se calcula sumando la longitud de sus tres lados.

Al ser un triángulo isósceles, dos de los lados tienen la misma longitud. Vamos a plantear la ecuación sumando los tres lados igualando a 70 cm que es la longitud del perímetro.

3) Resolvemos la ecuación de primer grado

Vamos a quitar los paréntesis. Como delante no tiene ningún signo, se pueden quitar sin modificar nada.

Simplificamos los términos semejantes en el miembro de la izquierda.

Restamos 10 en los dos miembros

3x+10{\color{Red} -10} = 70 {\color{Red} -10}

Y simplificamos

Finalmente, dividimos los dos miembros entre 3, que es el coeficiente de la incógnita y obtenemos la solución de la ecuación

4) Interpretamos la solución

Como la base mide x centímetros, al averiguar que x vale 20, ya sabemos que la longitud de la base será 20 cm. Los lados iguales miden 5 cm más que la base. Luego si longitud será 20 + 5 igual a 25 cm.

(Problemas resueltos de Geometría con una ecuación de primer grado – LeccionesDeMates.com)

Problema de Geometría resuelto con ecuaciones de primer grado 3

A la base de un rectángulo le faltan 2 cm para que sea igual a su altura. Si su perímetro es de 72 cm, ¿cuáles son sus dimensiones?

(Adaptado de Matemáticas SM Savia 1º de ESO – Ejercicio  59)

Solución problema resuelto 3 con ecuaciones de primer grado

1) Datos

Si consideramos que la altura  del rectángulo mide x, entonces, las bases tendrán 2 cm menos de longitud, es decir, (x-2). El problema nos indica que el perímetro del triángulo es de 70 cm.

Dimensiones de un rectángulo dado su perímetro - Problemas de Geometría y ecuaciones

2) Planteamiento

El perímetro de un rectángulo se calcula sumando la longitud de sus 4 lados. Los rectángulos tienen los lados iguales dos a dos por lo que podemos simplificar la ecuación y, en lugar de escribir la suma de los 4 lados, podemos escribir dos de ellos y multiplicarlos por dos.

Por otro lado, sabemos que la suma de los lados es 72 porque es uno de los datos del problema de Geometría que estamos resolviendo.

2x+2(x-2)=72

3) Resolvemos la ecuación de primer grado

Vamos a quitar los paréntesis. Aplicamos la propiedad distributiva.

2x+2x-4=72

Simplificamos los términos semejantes en el miembro de la izquierda.

4x-4=72

Sumamos 4 en los dos miembros

4x-4{\color{Red} +4}=72{\color{Red} +4}

Y simplificamos

4x=76

Finalmente, dividimos los dos miembros entre 4, que es el coeficiente de la incógnita y obtenemos la solución de la ecuación

x=19

4) Interpretamos la solución

Como la altura mide x centímetros, al averiguar que x vale 19, ya sabemos que la longitud de la altura del rectángulo será 19 cm. Las bases miden 2 cm menos, luego su longitud será 19 – 2 igual a 17 cm.

(Problemas resueltos de Geometría con una ecuación de primer grado – LeccionesDeMates.com)

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Problemas de ecuaciones de 2º grado y Geometría

Problemas de Geometría resueltos con ecuaciones de segundo grado

Vamos a utilizar ecuaciones de segundo grado para resolver estos problemas con temática de Geometría. Sigue los pasos adecuados para encontrar las soluciones.

Problema resueltos de Geometría con ecuaciones de segundo grado 1

Un rectángulo verifica que su lado más pequeño es 10 cm menor que su lado mayor. Se sabe que el área es de 375 Calcula las dimensiones y el perímetro de este rectángulo.

(Adaptado de Matemáticas SM)

Solución al problema de ecuaciones de segundo grado 1

1) Datos

Es una buena idea escribir los datos de los problemas de Geometría mediante un gráfico o dibujo que represente la figura del problema. En este caso, vamos a dibujar el rectángulo.

Vamos a asignar la incógnita a la base del rectángulo {\color{Red} x} e indicamos que la altura es diez centímetros menos, por lo que será {\color{Red} (x-10)}

Rectángulo para los datos del problema de ecuaciones

2) Planteamiento

En este paso, debemos escribir una ecuación que sea capaz de resolver el problema. El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura, por tanto,

3) Operaciones: resolver la ecuación

En tercer lugar, tenemos que resolver la ecuación de segundo grado que hemos planteado en el paso anterior. Seguimos los pasos habituales quitando paréntesis:

Como se trata de una ecuación completa, vamos a intentar escribirla como {\color{Red} ax^2+bx+c=0}. Para ello, restamos 375 en los dos miembros de la ecuación.

Aplicamos la fórmula general de las ecuaciones completas de segundo grado.

simplificamos,

de donde obtenemos dos soluciones

4) Solución del problema

Como estamos hablando de longitudes de los lados de un rectángulo, tenemos que descartar la solución negativa de la ecuación por lo que nos quedamos con 25. De este modo, acudiendo al dibujo inicial de los datos, los lados serían:

Por lo que el perímetro se puede calcular como

(Problemas geométricos resueltos mediante ecuaciones – LeccionesDeMates.com)

Problema resueltos de Geometría con ecuaciones de segundo grado 2

Una huerta tiene forma de rectángulo. Su lado mayor mide un metro más que su lado menor y la diagonal mide 29 metros. Calcula el perímetro y el área de la huerta.

(Adaptado de Matemáticas SM)

Solución al problema de ecuaciones de segundo grado 2

1) Datos

Como la altura de la huerta es 1 m más larga que la anchura, la figura parece un cuadrado, pero en realidad es un rectángulo. Si escribimos como el valor de la anchura, entonces, el alto de la huerta será .

Diagonal de un rectángulo de 29 m de longitud

2) Planteamiento

La diagonal del rectángulo forma un triángulo rectángulo con la base y la altura que serían los catetos. Por ello, podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

3) Resolución de la ecuación

Para resolver la ecuación de segundo grado que obtenemos al plantear el problema, vamos, en primer lugar, a quitar los paréntesis utilizando la propiedad distributiva.

Restamos 841 en los dos miembros de la ecuación del problema para que tengamos 0 en uno de los dos miembros.

\begin{aligned} 841&=2x^2+2x+1 \\ 841{\color{Red} -841}&=2x^2+2x+1{\color{Red} -841} \end{aligned}

Como todos los coeficientes son pares, podemos dividir la ecuación entre 2 para simplificar.

Despejamos la incógnita con la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado completas.

Simplificamos todo lo que podemos.

Calculamos la raíz cuadrada.

4) Interpretar la solución del problema

Tenemos que descartar la solución negativa que nos ha dado la ecuación planteada al no haber longitudes negativas. Por lo tanto,

Ancho de la huerta =

Altura de la huerta =

Por tanto, el perímetro será

Y el área del rectángulo será

Concepto: problemas resueltos de Geometría con ecuaciones de segundo grado – LeccionesDeMates.com
Problema resueltos de Geometría con ecuaciones de segundo grado 3
En un triángulo de 22 cm2 de área, la base es igual a 3 cm más que el doble de la altura. ¿Qué dimensiones tiene el triángulo?

(Adaptado de Matemáticas SM)

Solución al problema de ecuaciones de segundo grado 3

1) Datos

Lo más conveniente para representar los datos de un problema de Geometría es escribirlo en una imagen que represente a la figura que es objeto del problema. En este caso, vamos dibujar un triángulo rectángulo

Problemas de ecuaciones y Geometría - Triángulo rectángulo

El enunciado nos indica que la base es 3 cm más que el doble de la altura. Como queremos resolver el problema mediante el uso de una ecuación de segundo grado, debemos representar la altura mediante la incógnita y escribir la longitud de la base como .

El otro dato que nos dan es que el área del triángulo rectángulo es de

2) Planteamiento de la ecuación

Una vez indicado qué va a representar la incógnita, podemos plantear la ecuación utilizando el dato del área y la fórmula del área de un triángulo

donde b es la base del triángulo y h su altura.

En la fórmula, cambiamos la base y la altura por las expresiones algebraicas que las representan

Problemas de ecuaciones y Geometría - Ecuación que resuelve el problema del triángulo

3) Resolver la ecuación de segundo grado

Mediante la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis del numerador de la fracción del miembro de la derecha.

Eliminamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por 2.

Restamos 44 para dejar la ecuación colocada correctamente, ya que se trata de una ecuación completa de segundo grado.

\begin{aligned} 44{\color{Red} -44}&=2x^2+3x{\color{Red} -44}\\ 0&=2x^2+3x-44\\ 2x^2+3x-44&=0 \end{aligned}

Esta ecuación se resuelve aplicando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado.

Fórmula general de las ecuaciones de segundo grado completas

Sustituimos el valor de a, b y c.

{\color{Red} 2}x^2{\color{Green} +3}x{\color{Blue} -44}=0\\ x=\frac{-{\color{Green} b}\pm \sqrt{{\color{Green} b}^2-4{\color{Red} a}{\color{Blue} c}} }{2{\color{Red} a}} \\ x=\frac{-{\color{Green} 3}\pm \sqrt{{\color{Green} 9}-4 \cdot {\color{Green} 3}\cdot({\color{Blue} -44})} }{2\cdot {\color{Red} 2}}

Simplificando el radicando,

Calculamos la raíz cuadrada de 361 que es 19 y bifurcamos las dos soluciones.

4) Solución del problema

Rápidamente descartamos la solución de signo negativo de la ecuación, ya que no existen longitudes negativas. Vamos a recordar las expresiones que pusimos en los datos del problema que representaban la altura y la base del triángulo.

Altura = x = {\color{Red} 4\: cm}

Base=(2x+3)=2\cdot 4+3={\color{Red} 11 \: cm}

Por último, aplicamos la fórmula del área del triángulo para comprobar que el área es 22.

con lo que efectivamente se cumplen las hipótesis del problema y hemos encontrado la solución.

(Problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado y Geometría – LeccionesDeMates.com)

Origen de los problemas

Estos problemas resueltos con ecuaciones con temática de Geometría están tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generación de la editorial SM, así como ejercicios de cosecha propia. Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

Racionalización de denominadores - Lecciones De Mates
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Resumen
▷ Problemas de ecuaciones y Geometría ¡Resueltos!
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👉 Problemas de ecuaciones resueltos con temática de Geometría para calcular áreas, perímetros y dimensiones de figuras geometricas [Explicados paso a paso] ✅ incluye explicación en vídeo. ¡¡Tú puedes!!
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