Problemas Resueltos Ecuaciones y Geometría

1) Datos

Si consideramos que la altura del rectángulo azul mide entonces la base será el doble más dos, es decir, . El problema nos indica que si restamos 3 a la base y sumamos 3 a la altura, el rectángulo se convierte en un cuadrado, por eso, los lados del cuadrado se aumentan y disminuyen en 3 unidades en el dibujo verde de la derecha.

2) Planteamiento

Un cuadrado es un rectángulo que tiene todos los datos iguales, por tanto, las dos expresiones de la figura verde que indican cuánto miden sus lados deben ser equivalentes:

3) Resolvemos la ecuación de primer grado

Vamos a quitar los paréntesis. Como delante no tiene ningún signo, se pueden quitar sin modificar nada.

Simplificamos los términos semejantes en el miembro de la izquierda.

Sumamos 1 en los dos miembros

Y simplificamos

Restamos x en los dos miembros.

Finalmente, simplificamos las dos expresiones algebraicas y obtenemos la solución de la ecuación de primer grado.

4) Interpretamos la solución

Si repasamos el enunciado del problema, nos piden finalmente obtener el área del cuadrado. La fórmula adecuada es

Por lo tanto, tenemos que obtener el lado del cuadrado con alguna de las dos expresiones que pusimos en el cuadrado de color verde inicial.

Como puedes observar, el resultado de la longitud del lado del cuadrado no cambia.

Finalmente, calculamos el área del cuadrado.

(Problemas resueltos de Geometría con ecuaciones de primer grado – LeccionesDeMates.com)

1) Datos

Es una buena idea escribir los datos de los problemas de Geometría mediante un gráfico o dibujo que represente la figura del problema. En este caso, vamos a dibujar el rectángulo.

Vamos a asignar la incógnita a la base del rectángulo  e indicamos que la altura es diez centímetros menos, por lo que será

2) Planteamiento

En este paso, debemos escribir una ecuación que sea capaz de resolver el problema. El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura, por tanto,

3) Operaciones: resolver la ecuación

En tercer lugar, tenemos que resolver la ecuación de segundo grado que hemos planteado en el paso anterior. Seguimos los pasos habituales quitando paréntesis:

Como se trata de una ecuación completa, vamos a intentar escribirla como . Para ello, restamos 375 en los dos miembros de la ecuación.

Aplicamos la fórmula general de las ecuaciones completas de segundo grado.

simplificamos,

de donde obtenemos dos soluciones

4) Solución del problema

Como estamos hablando de longitudes de los lados de un rectángulo, tenemos que descartar la solución negativa de la ecuación por lo que nos quedamos con 25. De este modo, acudiendo al dibujo inicial de los datos, los lados serían:

Por lo que el perímetro se puede calcular como

(Problemas geométricos resueltos mediante ecuaciones – LeccionesDeMates.com)

1) Datos

Como la altura de la huerta es 1 m más larga que la anchura, la figura parece un cuadrado, pero en realidad es un rectángulo. Si escribimos como el valor de la anchura, entonces, el alto de la huerta será .

2) Planteamiento

La diagonal del rectángulo forma un triángulo rectángulo con la base y la altura que serían los catetos. Por ello, podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

3) Resolución de la ecuación

Para resolver la ecuación de segundo grado que obtenemos al plantear el problema, vamos, en primer lugar, a quitar los paréntesis utilizando la propiedad distributiva.

Restamos 841 en los dos miembros de la ecuación del problema para que tengamos 0 en uno de los dos miembros.

Como todos los coeficientes son pares, podemos dividir la ecuación entre 2 para simplificar.

Despejamos la incógnita con la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado completas.

Simplificamos todo lo que podemos.

Calculamos la raíz cuadrada.

4) Interpretar la solución del problema

Tenemos que descartar la solución negativa que nos ha dado la ecuación planteada al no haber longitudes negativas. Por lo tanto,

Ancho de la huerta =

Altura de la huerta =

Por tanto, el perímetro será

Y el área del rectángulo será

Concepto: problemas resueltos de Geometría con ecuaciones de segundo grado – LeccionesDeMates.com

1) Datos

Lo más conveniente para representar los datos de un problema de Geometría es escribirlo en una imagen que represente a la figura que es objeto del problema. En este caso, vamos dibujar un triángulo rectángulo

El enunciado nos indica que la base es 3 cm más que el doble de la altura. Como queremos resolver el problema mediante el uso de una ecuación de segundo grado, debemos representar la altura mediante la incógnita y escribir la longitud de la base como .

El otro dato que nos dan es que el área del triángulo rectángulo es de

2) Planteamiento de la ecuación

Una vez indicado qué va a representar la incógnita, podemos plantear la ecuación utilizando el dato del área y la fórmula del área de un triángulo

donde b es la base del triángulo y h su altura.

En la fórmula, cambiamos la base y la altura por las expresiones algebraicas que las representan

3) Resolver la ecuación de segundo grado

Mediante la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis del numerador de la fracción del miembro de la derecha.

Eliminamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por 2.

Restamos 44 para dejar la ecuación colocada correctamente, ya que se trata de una ecuación completa de segundo grado.

Esta ecuación se resuelve aplicando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado.

Sustituimos el valor de a, b y c.

Simplificando el radicando,

Calculamos la raíz cuadrada de 361 que es 19 y bifurcamos las dos soluciones.

4) Solución del problema

Rápidamente descartamos la solución de signo negativo de la ecuación, ya que no existen longitudes negativas. Vamos a recordar las expresiones que pusimos en los datos del problema que representaban la altura y la base del triángulo.

Por último, aplicamos la fórmula del área del triángulo para comprobar que el área es 22.

con lo que efectivamente se cumplen las hipótesis del problema y hemos encontrado la solución.

(Problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado y Geometría – LeccionesDeMates.com)