Problemas Resueltos de Mínimo Común Múltiplo

Problemas de mcm

Aprende practicando

La mejor forma de asentar lo que has aprendido en clase es practicando con más ejercicios. Aquí te ofrezco una colección de problemas resueltos en los que aplicamos el mínimo común múltiplo (mcm) para su resolución.

Mínimo Común múltiplo

“Es el número natural más pequeño que es múltiplo a la vez de todos los números originales dados.”

Se calcula:

Factorizando los números.
Multiplicando los factores comunes y no comunes elevados al exponente mayor de cada uno.

Matemáticas 1º de ESO

Problemas resueltos de mcm (mínimo común múltiplo)

En 1º de ESO se TEXTO

Problema mcm resuelto 1

Tres músicos locos tocan sus instrumentos de una forma muy curiosa.

El primero toca una tecla del piano cada 4 segundos.
El segundo toca los platillos cada 6 segundos.
El tercero toca el silbato cada 15 segundos.

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 53).

Solución problema mcm resuelto 1

1) Datos:

Piano cada 4 seg.
Platillos cada 6 seg.
Silbato cada 15 seg.

¿Cada cuánto tiempo tocan a la vez?

2) Planteamiento:

Cada músico toca su instrumento en los múltiplos de su tiempo:

Piano cada 4, 8, 12, 16…
Platillos cada 6, 12, 18, 24…
Silbato cada 15, 30, 45, 60…

Por tanto, debemos encontrar un múltiplo de los tres números lo más pequeño posible. Para ello, calculamos el mcm de los tres.

3) Resolución:

$\displaystyle 4=2 \cdot 2 = 2^2$	$\displaystyle 6=2 \cdot 3$	$\displaystyle 15=3 \cdot 5$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 15 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}$

Para calcular el mcm, multiplicamos los factores comunes a los tres números y los no comunes, todos elevados a su exponente mayor.

$\displaystyle mcm = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

4) Solución:

Los cuatro músicos tocan a la vez su instrumento cada 60 segundos.

Problema mcm resuelto 2

Un coche tarda 70 segundos en dar una vuelta completa a un circuito, y otro, 80 segundos en realizar el mismo trayecto.

Si salen a la vez, ¿cuándo volverán a coincidir?
¿Cuándo coincidirán por segunda vez?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 67).

Solución problema mcm resuelto 2

1) Datos:

Coche 1: 70 seg. por vuelta.
Coche 2: 80 seg. por vuelta.

2) Planteamiento:

Cada coche da una vuelta en los múltiplos de su tiempo:

Coche 1: 70, 140, 210, 280…
Coche 2: 80, 160, 240, …

Por tanto, debemos encontrar un múltiplo de los dos números lo más pequeño posible. Para ello, calculamos el mcm de los dos tiempos.

3) Resolución:

$\displaystyle 70=2 \cdot 5 \cdot 7$	$\displaystyle 80=2^4 \cdot 5$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} 70 \\ 35 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 7 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 80 \\ 40 \\ 20 \\ 10 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}$

Para calcular el mcm, multiplicamos los factores comunes a los dos números y los no comunes también, todos elevados a su exponente mayor.

$\displaystyle mcm = 2^4 \cdot 5 \cdot 7 = 16 \cdot 5 \cdot 7 = 560$

4) Solución:

Los dos coches volverán a coincidir pasados 560 seg desde que iniciaron la marcha.
La segunda vez será pasados otros 560 seg., es decir, $\displaystyle 2 \cdot 560 = 1120$ seg.

Problema mcm resuelto 3

El planeta Mercurio tarda 88 días terrestres en dar una vuelta alrededor del Sol. El planeta Venus tarda 225 días en completar su órbita.

Si Mercurio y Venus están alineados con el Sol, ¿cuánto tardará en volver a producirse esta alineación?
Si Venus y la Tierra está alineados, ¿dentro de cuántos días volverán a estarlo?
Si los tres planetas están alineados en un momento dado, ¿cuánto tiempo pasará hasta que los tres planetas vuelvan a coincidir?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 120).

Solución problema mcm resuelto 3

1) Datos:

Mercurio tarda 88 días en dar la vuelta alrededor del Sol.
Venus tarda 225 días.
La Tierra tarda 365 días.

2) Planteamiento:

Cada planeta da una vuelta alrededor del Sol en los múltiplos de su tiempo de traslación:

Mercurio: 88, 176, 264, 352… días.
Venus: 225, 450, 675… días
La Tierra: 365, 730, 1095… días.

Por tanto, debemos encontrar un múltiplo de todos los tiempos de traslación lo más pequeño posible. Para ello, calculamos el mcm.

3) Resolución:

$\displaystyle 88=2^3 \cdot 11$	$\displaystyle 225=3^2 \cdot 5^2$	$\displaystyle 365=5\cdot 73$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} 88 \\ 44 \\ 22 \\ 11 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 11 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 225 \\ 75 \\ 25 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 5 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 365 \\ 73 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 5 \\ 73 \\ 1 \\ \end{matrix}$

Para calcular el mcm, multiplicamos los factores comunes a los números y los no comunes también, todos elevados a su exponente mayor.

a) Mercurio y Venus:

$\displaystyle mcm = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 = 8 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 11 = 19800$

b) Venus y la Tierra:

$\displaystyle mcm = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 73= 9 \cdot 25 \cdot 73 = 16425$

c) Mercurio, Venus y la Tierra:

$\displaystyle mcm = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 73= 8 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 11 \cdot 73 = 1445400$

4) Solución

a) Mercurio y Venus se alinearán cada 19800 días terrestres (cada 54.25 años aproximadamente)

b) Venus y la Tierra se alinearán cada 16425 días terrestres (45 años).

c) Los tres planetas se alinearán cada 1445400 días terrestres (3960 años)

Problema mcm resuelto 4

Tres atletas entrenan todas las semanas en la misma pista. Carmen tarda 60 segundos en dar una vuelta completa, Javier, 75 segundos en completar la vuelta y, Rosa, 85 segundos.

Si salen los tres a la vez, ¿cada cuánto tiempo coincidirán todos?
¿Cuántas vueltas a la pista habrá dado cada uno de ellos?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 122).

Solución problema mcm resuelto 4

1) Datos:

Carmen da una vuelta cada 60 segundos.
Javier da una vuelta cada 75 segundos.
Rosa da una vuelta cada 85 segundos.

2) Planteamiento:

Cada atleta da una vuelta alrededor de la pista en los múltiplos de su tiempo por vuelta:

Carmen: 60, 120, 180, 240… segundos.
Javier: 75, 150, 225, 300 … segundos.
Rosa: 85, 170, 255… segundos.

Por tanto, debemos encontrar un múltiplo de todos los tiempos de por vuelta lo más pequeño posible. Para ello, calculamos el mcm.

3) Resolución:

$\displaystyle 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$	$\displaystyle 75=3 \cdot 5^2$	$\displaystyle 85=5\cdot 17$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} 60 \\ 30 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 75 \\ 25 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 85 \\ 17 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 5 \\ 17 \\ 1 \\ \end{matrix}$

Para calcular el mcm, multiplicamos los factores comunes a los números y los no comunes también, todos elevados a su exponente mayor.

$\displaystyle mcm = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 17 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 17 = 5100$

4) Solución

a) Si salen a la vez, coincidirán cada 5100 segundos (85 minutos; 1 hora y 25 minutos).

b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?

Vamos a dividir el tiempo entre el tiempo que tarda cada uno en dar una vuelta y obtendremos el número de vueltas:

b.1) Carmen: $\displaystyle 5100 : 60 = 85$ vueltas.

b.2) Javier: $\displaystyle 5100 : 75 = 68$ vueltas.

b.3) Rosa: $\displaystyle 5100 : 85 = 60$ vueltas.

Problema mcm resuelto 5

Rubén ha comprado flores para regalárselas a sus amigas. Pueda hacer ramos de 4 flores, de 6 y 9 , sin que le sobre ninguna.

Al hacer los ramos, se da cuenta de que si hubiera comprado dos flores más, podría hacer ramos de 10 flores sin que le sobrara ninguna.

¿Cuántas flores compró?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 125).

Solución problema mcm resuelto 5

1) Datos:

Puede hacer ramos de flores de 4, 6 y 9 sin que le sobre ninguna.

Si hubiera comprado 2 más, podría hacer ramos de 10 flores.

2) Planteamiento:

Como puede hacer ramos de 4, 6 y 9 sin que le sobre es porque el número de flores que ha comprado es múltiplo de esos números. Vamos a calcular el mcm para ver cuál es el número mínimo de flores candidato.

3) Resolución:

$\displaystyle 6=2 \cdot 3$	$\displaystyle 4= 2^2$	$\displaystyle 9=3^2$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 9 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}$

Para calcular el mcm, multiplicamos los factores comunes a los números y los no comunes también, todos elevados a su exponente mayor.

$\displaystyle mcm = 2^2 \cdot 3^2 = 36$

4) Solución

El primer candidato es 36, pero si le sumamos 2 da 38 que no es divisible entre 10.

El siguiente candidato será $\displaystyle 36 \cdot 2 = 72$ , pero al sumarle dos flores más, da 74 que no es divisible entre 10.

El tercer candidato será $\displaystyle 36 \cdot 3 = 108$ , que al sumarle dos flores más, da 110 que sí es divisible entre 10. Por tanto, el número menor de flores que Rubén pudo comprar es 108.

Problema mcm resuelto 6

El perro de Roque está enfermo. El veterinario ha prescrito un tratamiento combinado de tres pastillas. La primera se toma cada 45 minutos, la segunda cada 72 minutos, y la tercera, cada dos horas. A las doce del medio día, Roque le da las tres pastillas. ¿A qué hora volverán a coincidir las tres?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 10 de la autoevaluación).

Solución problema mcm resuelto 6

1) Datos:

Primera pastilla cada 45 minutos.
Segunda pastilla cada 72 minutos.
Tercera pastilla cada 2 horas (180 minutos).
A las 12:00 le dan las tres pastilla a la vez

2) Planteamiento:

Cada pastilla se administra en los múltiplos de su tiempo:

Primera: 45, 90, 135,… minutos.
Segunda: 72, 144, 216, … minutos.
Tercera: 180, 360, 540… minutos.

Por tanto, debemos encontrar un múltiplo de todos los periodos lo más pequeño posible. Para ello, calculamos el mcm.

3) Resolución:

$\displaystyle 45=3^2 \cdot 5$	$\displaystyle 72=2^3 \cdot 3^2$	$\displaystyle 180=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} 45 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 72 \\ 36 \\ 18 \\ 9 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 180 \\ 90 \\ 45 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}$

Para calcular el mcm, multiplicamos los factores comunes a los números y los no comunes también, todos elevados a su exponente mayor.

$\displaystyle mcm = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$

4) Solución

Rubén debe administrar las tres pastilla a la vez cada 360 minutos. Eso son 6 horas, por lo que, si se administró por primera vez a las 12:00, deberá darle las tres pastillas a las 18:00.

Problema mcm resuelto 7

Varios amigos preparan un mosaico cuadrado, uniendo piezas de 10 cm de largo y de 12 cm de alto. No quieren romper ninguna pieza, y los colocan siempre en la misma posición, con el lado mayor en la base.

¿Cuáles serán sus dimensiones mínimas?
¿Cuántas piezas tendrá la base? ¿Y la altura?
¿Cuántas piezas habrá en total?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 56).

Solución problema mcm resuelto 7

1) Datos:

El mosaico es cuadrado.
Las piezas son rectangulares de 10 cm de largo por 12 de alto.
No se pueden romper piezas.
El lado mayor va en la base.

Problemas MCD - Mosaico cuadrado - SM Savia 1º de ESO - Matemáticas
2) Planteamiento:
Como se coloca la pieza con el lado de 12 cm en la base, las longitudes posibles será múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48,… Con el alto pasa lo mismo, como la pieza mide 10 cm, la altura será múltiplo de 10: 10, 20, 30, 40, … cm

Como el mosaico es cuadrado, la longitud del lado debe ser un múltiplo de 10 y 12 a la vez y como queremos que sea de la menor longitud posible, tenemos que buscar su mínimo común denominador.

Por tanto, debemos encontrar un múltiplo común lo más pequeño posible. Para ello, calculamos el mcm.

3) Resolución:

$\displaystyle 12=2^2 \cdot 3$	$\displaystyle 10=2 \cdot 5$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} 12 \\ 6 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{matrix}$	$\displaystyle \left.\begin{matrix} 10 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}\right\| \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix}$

Para calcular el mcm, multiplicamos los factores comunes a los números y los no comunes también, todos elevados a su exponente mayor.

$\displaystyle mcm = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

4) Solución 1

La longitud mínima del mosaico será de 60×60 cm.

4) Solución 2

¿Cuántas piezas tendrá la base? ¿Y la altura?

Base = 60 : 12 = 5 piezas.
Altura = 60 : 10 = 6 piezas

4) Solución 3

¿Cuántas piezas habrá en total?

Multiplicamos las piezas de la base por las piezas de la altura para obtener el número total de piezas del mosaico.

5 x 6 = 30 piezas.

Matemáticas 2º de ESO