Problemas resueltos de ecuaciones de primer grado con una única incógnita organizados por temas y resueltos paso a paso. Todos ellos siguen el esquema de datos, planteamiento, resolución u operaciones e interpretación de la solución.

Pasos para resolver un problema de ecuaciones

  1. Vamos a identificar los datos del problema y definir quién será la incógnita.
  2. Planteamos la ecuación que resolverá el problema. Primero hacemos una aproximación en un lenguaje natural y luego escribimos la expresión algebraica.
  3. Resolvemos la ecuación.
  4. Interpretamos la solución del problema.

Tabla de problemas resueltos

NúmeroTipoEnunciado
Problema 1EdadesLa edad actual de José es \displaystyle \frac{3}{8}  de la de su hermano y, dentro de 4 años, tendrá la mitad de la que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es a edad actual del hermano?
Problema 2EdadesAverigua qué edad tiene cada uno. “Hace dos años, mi edad era cuatro veces la tuya y, dentro de 8 años, la suma de nuestras edades será 70 años.” (Fuente: Matemáticas SM Savia 1º de ESO – 29)
Problema 3EdadesDentro de 8 años, Manuela tendrá el triple de años que su hija y la suma de sus edades, en ese momento, será 48 años. Calcula la edad actual de cada una. (Fuente: Matemáticas SM Savia 1º de ESO – 64)
Problema 4EdadesLa edad de Jorge es el triple que la que tiene su hijo en este momento. Hace diez años, la suma de sus edades era 28 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno?

Problema resuelto 1

La edad actual de José es \displaystyle \frac{3}{8}  de la de su hermano y, dentro de 4 años, tendrá la mitad de la que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es a edad actual del hermano?

1) Datos del problema

Vamos a expresar los datos del problema en forma de tabla:

HoyDentro de 4 años
Hermano\displaystyle x
José\displaystyle \frac{3x}{8}

Si asignamos la incógnita a la edad del hermano, podemos expresar la edad de José como  \displaystyle \frac{3x}{8}

Para representar la edad dentro de 4 años, debemos sumar 4 a la edad actual. De este modo completamos la tabla de datos:

HoyDentro de 4 años
Hermano\displaystyle x\displaystyle  (x+4)
José\displaystyle \frac{3x}{8} \displaystyle \left(\frac{3x}8+4\right)

2) Planteamiento del problema

Idea: dentro de 4 años, la edad del hermano será el doble de la de José

Dentro de 4 años, \displaystyle EdadHermano = 2 \cdot EdadJose

Sustituimos cada valor por las expresiones de la columna “Dentro de 4 años” de la tabla.

\displaystyle (x+4) = 2\cdot \left(\frac{3x}8+4\right)

3) Resolución de la ecuación

Resolvemos la ecuación con los 5 pasos que estudiamos en el tema de ecuaciones:

  1. Quitar paréntesis.
  2. Quitar denominadores
  3. Simplificar términos semejantes
  4. Regla de la suma
  5. Regla del producto

Vamos allá:

\displaystyle (x+4) = 2\cdot \left(\frac{3x}8+4\right)

Aplicamos la propiedad distributiva para quitar los paréntesis:

\displaystyle x+4=\frac{6x}8+8

Simplificamos la fracción entre 2:

\displaystyle x+4=\frac{3x}4+8

Multilicamos la ecuación por el mcm de los denominadores que es 4:

\displaystyle 4x+16=3x+32

Restamos 16 en los dos miembros:

\displaystyle 4x=3x+16

Restamos 3x en los dos miembros

\displaystyle x=16

4) Solución

Una vez que tenemos la solución de la ecuación, calculamos la solución del problema volviendo a la tabla, a la columna “Hoy”:

HoyValor numérico
Hermano\displaystyle x\displaystyle x = 16
José\displaystyle \frac{3x}{8} \displaystyle \frac{3\cdot 16}{8} = \frac{48}{8} = 6

De este modo, averiguamos que José tiene 6 años y que su hermano tiene 16 años.

Problema resuelto 2

Un chico y una chica está hablando. Él le dice: “Hace dos años, mi edad era cuatro veces la tuya y, dentro de 8 años, la suma de nuestras edades será 70 años.” Averigua qué edad tiene cada uno.

1) Datos

Vamos a expresar los datos del problema en forma de tabla:

Hace 2 añosHoyDentro de 8 años
Chico\displaystyle 4x\displaystyle (4x+2)\displaystyle (4x+2)+8=(4x+10)
Chica\displaystyle x\displaystyle (x+2) \displaystyle (x+2)+8 = (x+10)
Suma70 años

Asignamos la incógnita a la edad que tenía la chica hace 2 años.

2) Planteamiento del problema

La idea principal es que, dentro de 8 años, la suma de las edades del chico y la chica será 70 años. Por tanto, cogemos los datos de la columna “Dentro de 8 años”:

Dentro de 8 años, \displaystyle  EdadChico + EdadChica = 70

\displaystyle (4x+10) + (x+10) = 70

3) Resolución de la ecuación:

\displaystyle (4x+10) + (x+10) = 70

\displaystyle 4x+10 + x+10 = 70

\displaystyle 5x + 20 = 70

\displaystyle 5x  = 50

\displaystyle x = 10

4) Solución

Para obtener las edades actuales, nos fijamos en la columna “Hoy”:

Chico =  \displaystyle (4x+2) = 4 \cdot 10 + 2 = 40 + 2 = 42  años.

Chica = \displaystyle (x+2) = 10 + 2 = 12  años.

Problema resuelto 3

Dentro de 8 años, Manuela tendrá el triple de años que su hija y la suma de sus edades, en ese momento, será 48 años. Calcula la edad actual de cada una.

1) Datos

Vamos a plasmar los datos de este problema mediante una tabla:

HoyDentro de 8 años
Manuela\displaystyle (3x-8)\displaystyle 3x
Hija\displaystyle (x-8) \displaystyle x
Suma48 años

Asignamos la incógnita a la edad que tendrá la hija de Manuela dentro de 8 años.

2) Planteamiento

Vamos a plantear este problemas resueltos de ecuaciones de primer grado mediante esta idea: dentro de 8 años, la suma de las edades de Manuela y de su hija será de 48 años.

Dentro de 8 años, \displaystyle  EdadManuela + EdadHija = 48

\displaystyle 3x + x = 48

3) Resolución de la ecuación:

\displaystyle 3x + x = 48

\displaystyle 4x = 48

\displaystyle x = 12

4) Solución

Para obtener las edades actuales, nos fijamos en la columna “Hoy”:

Manuela =  \displaystyle (3x-8) = 3 \cdot 12 - 8  = 36 - 8  = 28  años.

Hija =  \displaystyle (x-8) = 12 - 8  = 4  años.

 

Problema resuelto 4

La edad de Jorge es el triple que la que tiene su hijo en este momento. Hace diez años, la suma de sus edades era 28 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? Libro SM Savia Nueva Generación 3º de ESO.

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