Problemas resueltos de Proporciones y Porcentajes

Problemas de porcentajes y proporciones
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Proporciones

“Una proporción es la igualdad entre dos razones”

Ten en cuenta:

  • En una proporción \\dfrac{a}{b}=\\dfrac{c}{d} llamamos extremos a a y d y medios a b y c.
  • Una proporción está bien formada cuando el producto de medios es igual al producto de extremos.

Porcentaje

Un porcentaje representa una cantidad respecto de 100. Un porcentaje, por ejemplo, “el veinticinco por ciento” se puede representar como:

  • Una fracción: \\frac{25}{100}
  • Un número decimal: 0,25
  • Con el símbolo %: 25%
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Matemáticas 1º de ESO

Problemas resueltos de porcentajes y proporciones

En 1º de ESO, se repasa el concepto de porcentaje y proporción que se inició en Tercer Ciclo de Primaria. Vamos a realizar problemas donde se calculen porcentajes utilizando la potente herramienta de las proporciones.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 1

Un camión que transporta fruta ha tenido una avería y se ha estropeado el 20 % de la carga. Si transportaba 2300 kilos de fruta en total, ¿cuántos kilos de fruta se han salvado?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 46).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 1

1) Datos

Total de fruta: 2300 kg

Fruta perdida: 20 %

Pregunta: ¿kg fruta que se han salvado?

2) Planteamiento

Vamos a calcular primero el porcentaje de fruta que se ha salvado y, luego, cuántos kg de fruta representan ese porcentaje

3) Resolución

3a) Si han perdido el 20% de la fruta es porque se conserva el problemas resueltos de proporciones y porcentajes 100% -20% =80%

3b) Calculamos el 80% de 2300 kg

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{80}{100}=\dfrac{x}{2300}

Despejamos:

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes x=\dfrac{2300\cdot 80}{100}

4) Solución

Se han salvado 1840 kg de fruta.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 2

Una familia dedica el 30 % de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca de su casa. Calcula cuánto pagan de hipoteca si sus ingresos son de 2700 €. 

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 47).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 2

1) Datos

Hipoteca: 30% de los ingresos.

Total ingresos: 2700€

Pregunta: ¿cuánto pagan de hipoteca?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el 30% de 2700€.

3) Resolución

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{30}{100}=\dfrac{x}{2700}

Despejamos:

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes x=\dfrac{2300\cdot 80}{100}=810

4) Solución

Pagan 810€ de hipoteca.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 3

En un paquete de caramelos, el 30 % son de menta. Si hay seis caramelos de menta, ¿cuántos caramelos tiene la bolsa?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 48).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 3

1) Datos

Porcentaje: 30% son menta.

Parte: 6 caramelos de menta.

Pregunta: ¿total de caramelos de la bolsa?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el total del caramelos conociendo el porcentaje y la parte.

3) Resolución

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{30}{100}=\dfrac{6}{x}

Despejamos:

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes

4) Solución

Hay 20 caramelos en total dentro de la bolsa.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 4

Me han descontado 10 € en unos pantalones que estaban rebajados un 20 %. ¿Cuánto costaban los pantalones? ¿Cuánto he pagado por ellos?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 49).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 4

1) Datos

Porcentaje de descuento: 20%.

Parte descontada: 10€

Pregunta 1: ¿precio antes del descuento?

Pregunta 2: ¿precio final con el descuento aplicado?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el total del precio conociendo el porcentaje y la parte.

3) Resolución

3a) Calculamos el precio antes del descuento (100% del total)

\dfrac{20}{100}=\dfrac{10}{x}

Despejamos:

x=\dfrac{10\cdot 100}{20}=50

3b) Precio final con el descuento. Vamos a restar al precio inicial la cantidad que nos han rebajado:

50-10=40

4) Solución

Pregunta 1: el precio inicial era de 50€

Pregunta 2: finalmente, el pantalón cuesta 40€

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 5

María ha invitado a 18 de sus compañeros de clase a su fiesta de cumpleaños. Si en total tiene 30 compañeros, ¿qué porcentaje de la clase ha ido a su fiesta?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 50).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 5

1) Datos

Parte de la clase invitada: 18 personas.

Total de la clase: 30 personas.

Pregunta: ¿porcentaje de invitados?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el porcentaje dada la cantidad total y la parte.

3) Resolución

\dfrac{x}{100}=\dfrac{18}{30}

Despejamos:

x=\dfrac{18\cdot 100}{30}=60

4) Solución

Ha ido el 60% de la clase.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 6

Apareció esta noticia en el periódico: “De cada 10 perros adoptados, dos acaban siendo abandonados por sus dueños”. Calcula el porcentaje de perros que son abandonados.

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 51).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 6

1) Datos

Razón: 2 de cada 10

Pregunta: ¿porcentaje de abandonados?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el porcentaje dada la cantidad total y la parte.

3) Resolución

problemas resueltos de proporciones y porcentajes

Despejamos:

problemas resueltos de proporciones y porcentajes

4) Solución

El 20% de los perros adoptados son abandonados.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 7

En la etiqueta de un suéter figura la información sobre su composición, tal y como aparece en la siguiente tabla.

Lana:  75%
Poliéster: 22%
Elastán: 3%

Sabiendo que el suéter pesa 350 g, calcula la cantidad de lana, de poliéster y de elastán que contiene.

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 52).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 7

1) Datos

Tabla de composición

Lana: 75%
Poliéster: 22%
Elastán: 3%

Peso total 350 g

Pregunta: ¿cantidad en g de cada material?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el porcentaje de cada cantidad sobre el total.

3) Resolución

a) Lana: 75%

\dfrac{75}{100}=\dfrac{x}{350}

Despejamos:

x=\dfrac{75\cdot 350}{100}=262,5

b) Poliéster: 22%

\dfrac{22}{100}=\dfrac{x}{350}

Despejamos:

problemas resueltos de proporciones y porcentajes

c) Elastán: 3%

\dfrac{3}{100}=\dfrac{x}{350}

Despejamos:

problemas resueltos de proporciones y porcentajes

 

4) Solución

Lana: 262,5 g
Poliéster: 77 g
Elastán: 10,5 g

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 8

En la etiqueta de una lata de mejillones podemos ver la siguiente información

Masa total:  111 g
Masa escurrida: 69 g

¿Qué porcentaje de líquido tiene la lata?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 55).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 8

1) Datos

Tabla de composición

Masa total: 111 g
Masa escurrida: 69 g

Pregunta: ¿cuál es el % de líquido?

2) Planteamiento

Primero calculamos la masa que corresponde al líquido y, después, qué porcentaje le corresponde sobre el total.

3) Resolución

3a) Masa del liquido:

111-69=42

3b) Calculamos qué tanto por ciento representan esos 42 g

\dfrac{x}{100}=\dfrac{42}{111}

x\simeq \dfrac{42\cdot 100}{111}\simeq 37.84

4) Solución

La parte líquida de lata representa el 37,84 %, aproximadamente, del total su masa.

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Matemáticas 2º de ESO

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes

En 2º de ESO no se realiza ninguna ampliación significativa de dificultad respecto a los ejercicios de proporciones y porcentajes.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 1
Un libro tiene una rebaja del 10 % y ahora cuesta 17,1 €. ¿Cuánto costaba antes?
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 21).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 1
1) Datos

Rebaja: 10 %

Precio después del descuento: 17,10 €

Pregunta: ¿precio antes de la rebaja?

2) Planteamiento

Como han rebajado un 10 % el precio actual es el 90 % del original. Vamos a calcular el 100% dada la cantidad que corresponde al 90%

3) Resolución

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{90}{100}=\dfrac{17,1}{x}

Despejamos:

problemas resueltos de proporciones y porcentajes x=\dfrac{17,1\cdot 100}{90}=19

4) Solución

El libro costaba 19€ antes del descuento.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 2

Un centro médico tenía 800 vacunas contra la gripe. Si le quedan 128, ¿qué porcentaje ha gastado?
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 54).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 2

1) Datos

Total de vacunas: 800 unidades

Quedan sin usar: 128

Pregunta: ¿tan por ciento que se ha gastado?

2) Planteamiento

Primero, vamos a calcular las unidades que se han gastado, después, calculamos qué porcentaje representa ese  número frente al total de 800.

3) Resolución

3a) Calcular el número de vacunas que se han utilizado

problemas resueltos de proporciones y porcentajes 800-128 = 672

3b) Calcular el porcentaje

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{x}{100}=\dfrac{672}{800}

donde

problemas resueltos de proporciones y porcentajes x=\dfrac{672\cdot 100}{800}

4) Solución

Se han utilizado el 84 % del total de vacunas.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 3

A una cantidad se le aplica un aumento del 10 %, y el resultado que se obtiene es 40,7. ¿Cuál era la cantidad inicial?
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 56).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 3

1) Datos

Aumento: 10 %

Cantidad con el aumento: 40,7

Pregunta: ¿cantidad inicial?

2) Planteamiento

Como la cantidad ha aumentado un 10%, el valor 40,7 representa el 110% del valor original. Planteamos la proporción teniendo en cuenta que queremos calcular el total inicial

3) Resolución

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{110}{100}=\dfrac{40,7}{x}

donde

problemas resueltos de proporciones y porcentajes x=\dfrac{40,7\cdot 100}{110}=37

4) Solución

La cantidad inicial era 37.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 4

Al disminuir un 15 % cierta cantidad se obtiene 1028,5. ¿Qué cantidad se tenía al principio?
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 57).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 4

1) Datos

Disminución: 15 %

Cantidad aplicando el descuento: 1028,5

Pregunta: ¿cantidad inicial?

2) Planteamiento

Como la cantidad ha disminuido un 15%, el valor 401028,5 representa el 100%-15%=85% del valor original. Planteamos la proporción teniendo en cuenta que queremos calcular el total inicial

3) Resolución

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{85}{100}=\dfrac{1028,5}{x}

donde

problemas resueltos de proporciones y porcentajes x=\dfrac{1028,5\cdot 100}{85}=1210

4) Solución

La cantidad inicial era 1210.

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 5

Una empresa organiza una campaña solidaria. Por cada 25 € que los clientes gasten en su tienda, la empresa donará un euro a una ONG. Si un cliente ha gastado 72 € en esa tienda, ¿qué cantidad deberá donar la empresa? ¿Qué porcentaje del precio representa?(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 75).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 5

1) Datos

Razón de la donación: 1€ por cada 25€ de gasto.

Cantidad gastada: 72€

Pregunta 1: ¿qué cantidad hay que donar?

Pregunta 2: ¿qué porcentaje se dona?

2) Planteamiento

Usaremos dos proporciones, una para cada pregunta

3) Resolución

3a) Cantidad que se debe donar:

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{1}{25}=\dfrac{x}{72}

donde

problemas resueltos de proporciones y porcentajes x=\dfrac{72\cdot 1}{25}=2,88

3b) Tanto por ciento que se dona:

problemas resueltos de proporciones y porcentajes \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{25}

donde

problemas resueltos de proporciones y porcentajes x=\dfrac{100\cdot 1}{25}=4

4) Solución

Pregunta 1: hay que donar 2,88€

Pregunta 2: la tienda dona el 4 %

Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 6

Durante una llamada de teléfono, la batería del móvil de Esteban se gasta de forma directamente proporcional a la duración de la llamada. En una conversación de cinco minutos la carga de la batería ha bajado un 3 %. Si carga completamente la batería, ¿cuánto tiempo podrá estar hablando?

(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 77).

Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 6

1) Datos

Duración de la llamada: 5 min.

Porcentaje de batería consumido: 3 %

Pregunta: ¿tiempo total que se puede hablar con la batería al 100%?

2) Planteamiento

Tenemos la cantidad parcial y el porcentaje que representa. Planteamos una proporción que lo refleje.

3) Resolución

\dfrac{3}{100}=\dfrac{5}{x}

donde

x=\dfrac{100\cdot 5}{3}=166_{1} \widehat{6}

Para pasarlo a notación compleja:

a) Para calcular las horas dividimos 166 entre 60 y nos quedamos con la parte entera. El resto de la división serán los minutos que no logran formar una hora entera:

166:60 = 2 horas y 46 minutos

b) Para calcular los segundos, multiplicamos 0,666… por 60 = 40 segundos

4) Solución

Podemos hablar 2 horas 46 minutos y 40 segundos.

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Origen de los ejercicios

Estos ejercicios están tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generación de la editorial SM. En concreto, de los libros de texto de 1º y 2º de ESO.  Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

Proporciones y porcentajes - Tema 7 - 1º de ESO
Ejercicios resueltos de proporciones y porcentajes
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