Problemas resueltos de Proporciones y Porcentajes
Problemas de porcentajes y proporciones Ver el vídeoTeoría y apuntesProporciones
“Una proporción es la igualdad entre dos razones”
Ten en cuenta:
- En una proporción
llamamos extremos a a y d y medios a b y c.
- Una proporción está bien formada cuando el producto de medios es igual al producto de extremos.
Porcentaje
Un porcentaje representa una cantidad respecto de 100. Un porcentaje, por ejemplo, “el veinticinco por ciento” se puede representar como:
- Una fracción:
- Un número decimal:
- Con el símbolo %:
Matemáticas 1º de ESO
Problemas resueltos de porcentajes y proporciones
En 1º de ESO, se repasa el concepto de porcentaje y proporción que se inició en Tercer Ciclo de Primaria. Vamos a realizar problemas donde se calculen porcentajes utilizando la potente herramienta de las proporciones.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 1
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 46).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 1
1) Datos
Total de fruta: 2300 kg
Fruta perdida: 20 %
Pregunta: ¿kg fruta que se han salvado?
2) Planteamiento
Vamos a calcular primero el porcentaje de fruta que se ha salvado y, luego, cuántos kg de fruta representan ese porcentaje
3) Resolución
3a) Si han perdido el 20% de la fruta es porque se conserva el
3b) Calculamos el 80% de 2300 kg
Despejamos:
4) Solución
Se han salvado 1840 kg de fruta.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 2
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 47).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 2
Hipoteca: 30% de los ingresos.
Total ingresos: 2700€
Pregunta: ¿cuánto pagan de hipoteca?
2) Planteamiento
Vamos a calcular el 30% de 2700€.
3) Resolución
Despejamos:
4) Solución
Pagan 810€ de hipoteca.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 3
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 48).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 3
Porcentaje: 30% son menta.
Parte: 6 caramelos de menta.
Pregunta: ¿total de caramelos de la bolsa?
2) Planteamiento
Vamos a calcular el total del caramelos conociendo el porcentaje y la parte.
3) Resolución
Despejamos:
4) Solución
Hay 20 caramelos en total dentro de la bolsa.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 4
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 49).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 4
Porcentaje de descuento: 20%.
Parte descontada: 10€
Pregunta 1: ¿precio antes del descuento?
Pregunta 2: ¿precio final con el descuento aplicado?
2) Planteamiento
Vamos a calcular el total del precio conociendo el porcentaje y la parte.
3) Resolución
3a) Calculamos el precio antes del descuento (100% del total)
Despejamos:
3b) Precio final con el descuento. Vamos a restar al precio inicial la cantidad que nos han rebajado:
4) Solución
Pregunta 1: el precio inicial era de 50€
Pregunta 2: finalmente, el pantalón cuesta 40€
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 5
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 50).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 5
Parte de la clase invitada: 18 personas.
Total de la clase: 30 personas.
Pregunta: ¿porcentaje de invitados?
2) Planteamiento
Vamos a calcular el porcentaje dada la cantidad total y la parte.
3) Resolución
Despejamos:
4) Solución
Ha ido el 60% de la clase.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 6
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 51).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 6
Razón: 2 de cada 10
Pregunta: ¿porcentaje de abandonados?
2) Planteamiento
Vamos a calcular el porcentaje dada la cantidad total y la parte.
3) Resolución
Despejamos:
4) Solución
El 20% de los perros adoptados son abandonados.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 7
Lana: | 75% |
Poliéster: | 22% |
Elastán: | 3% |
Sabiendo que el suéter pesa 350 g, calcula la cantidad de lana, de poliéster y de elastán que contiene.
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 52).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 7
Tabla de composición
Lana: | 75% |
Poliéster: | 22% |
Elastán: | 3% |
Peso total 350 g
Pregunta: ¿cantidad en g de cada material?
2) Planteamiento
Vamos a calcular el porcentaje de cada cantidad sobre el total.
3) Resolución
a) Lana: 75% Despejamos: | b) Poliéster: 22% Despejamos: | c) Elastán: 3% Despejamos: |
4) Solución
Lana: | 262,5 g |
Poliéster: | 77 g |
Elastán: | 10,5 g |
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 8
Masa total: | 111 g |
Masa escurrida: | 69 g |
¿Qué porcentaje de líquido tiene la lata?
(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 55).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 8
Tabla de composición
Masa total: | 111 g |
Masa escurrida: | 69 g |
Pregunta: ¿cuál es el % de líquido?
2) Planteamiento
Primero calculamos la masa que corresponde al líquido y, después, qué porcentaje le corresponde sobre el total.
3) Resolución
3a) Masa del liquido:
3b) Calculamos qué tanto por ciento representan esos 42 g
4) Solución
La parte líquida de lata representa el 37,84 %, aproximadamente, del total su masa.
Matemáticas 2º de ESO
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes
En 2º de ESO no se realiza ninguna ampliación significativa de dificultad respecto a los ejercicios de proporciones y porcentajes.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 1
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 21).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 1
Rebaja: 10 %
Precio después del descuento: 17,10 €
Pregunta: ¿precio antes de la rebaja?
2) Planteamiento
Como han rebajado un 10 % el precio actual es el 90 % del original. Vamos a calcular el 100% dada la cantidad que corresponde al 90%
3) Resolución
Despejamos:
4) Solución
El libro costaba 19€ antes del descuento.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 2
Un centro médico tenía 800 vacunas contra la gripe. Si le quedan 128, ¿qué porcentaje ha gastado?
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 54).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 2
1) Datos
Total de vacunas: 800 unidades
Quedan sin usar: 128
Pregunta: ¿tan por ciento que se ha gastado?
2) Planteamiento
Primero, vamos a calcular las unidades que se han gastado, después, calculamos qué porcentaje representa ese número frente al total de 800.
3) Resolución
3a) Calcular el número de vacunas que se han utilizado
3b) Calcular el porcentaje
donde
4) Solución
Se han utilizado el 84 % del total de vacunas.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 3
A una cantidad se le aplica un aumento del 10 %, y el resultado que se obtiene es 40,7. ¿Cuál era la cantidad inicial?
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 56).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 3
1) Datos
Aumento: 10 %
Cantidad con el aumento: 40,7
Pregunta: ¿cantidad inicial?
2) Planteamiento
Como la cantidad ha aumentado un 10%, el valor 40,7 representa el 110% del valor original. Planteamos la proporción teniendo en cuenta que queremos calcular el total inicial
3) Resolución
donde
4) Solución
La cantidad inicial era 37.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 4
Al disminuir un 15 % cierta cantidad se obtiene 1028,5. ¿Qué cantidad se tenía al principio?
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 57).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 4
1) Datos
Disminución: 15 %
Cantidad aplicando el descuento: 1028,5
Pregunta: ¿cantidad inicial?
2) Planteamiento
Como la cantidad ha disminuido un 15%, el valor 401028,5 representa el 100%-15%=85% del valor original. Planteamos la proporción teniendo en cuenta que queremos calcular el total inicial
3) Resolución
donde
4) Solución
La cantidad inicial era 1210.
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 5
Una empresa organiza una campaña solidaria. Por cada 25 € que los clientes gasten en su tienda, la empresa donará un euro a una ONG. Si un cliente ha gastado 72 € en esa tienda, ¿qué cantidad deberá donar la empresa? ¿Qué porcentaje del precio representa?(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 75).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 5
1) Datos
Razón de la donación: 1€ por cada 25€ de gasto.
Cantidad gastada: 72€
Pregunta 1: ¿qué cantidad hay que donar?
Pregunta 2: ¿qué porcentaje se dona?
2) Planteamiento
Usaremos dos proporciones, una para cada pregunta
3) Resolución
3a) Cantidad que se debe donar:
donde
3b) Tanto por ciento que se dona:
donde
4) Solución
Pregunta 1: hay que donar 2,88€
Pregunta 2: la tienda dona el 4 %
Problemas resueltos de proporciones y porcentajes 6
Durante una llamada de teléfono, la batería del móvil de Esteban se gasta de forma directamente proporcional a la duración de la llamada. En una conversación de cinco minutos la carga de la batería ha bajado un 3 %. Si carga completamente la batería, ¿cuánto tiempo podrá estar hablando?
(SM Savia 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 77).
Solución problemas resueltos de proporciones y porcentajes 6
1) Datos
Duración de la llamada: 5 min.
Porcentaje de batería consumido: 3 %
Pregunta: ¿tiempo total que se puede hablar con la batería al 100%?
2) Planteamiento
Tenemos la cantidad parcial y el porcentaje que representa. Planteamos una proporción que lo refleje.
3) Resolución
donde
Para pasarlo a notación compleja:
a) Para calcular las horas dividimos 166 entre 60 y nos quedamos con la parte entera. El resto de la división serán los minutos que no logran formar una hora entera:
166:60 = 2 horas y 46 minutos
b) Para calcular los segundos, multiplicamos 0,666… por 60 = 40 segundos
4) Solución
Podemos hablar 2 horas 46 minutos y 40 segundos.
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Origen de los ejercicios
Estos ejercicios están tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generación de la editorial SM. En concreto, de los libros de texto de 1º y 2º de ESO. Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia.