Problemas resueltos de variaciones porcentuales encadenadas

Problemas de fórmula de cambio porcentual
Ver el vídeoTeoría y apuntes

Variaciones porcentuales encadenadas

“Cuando realizamos varios cambios porcentuales sobre una cantidad, hablamos de variaciones porcentuales encadenadas”. En esta entrada te ofrecemos problemas resueltos de variaciones porcentuales.

Ten en cuenta:

  • No podemos sumar o restar porcentajes para calcular el porcentaje acumulado.
  • Si utilizamos la regla de tres, tendremos que plantear tantas como cambios porcentuales queramos calcular (tres cambios, tres reglas de tres).

¬ŅHay alguna manera de realizar los c√°lculos de forma m√°s r√°pida? Vamos a verlo.

√ćndice de variaci√≥n

“El √≠ndice de variaci√≥n nos indica el cambio que se produce respecto de 1. “

Ten en cuenta:

  • El √≠ndice de variaci√≥n en un incremento o aumento porcentual es IV=1+\\frac{p}{100}¬†donde¬†p¬†es el porcentaje de aumento. Si se trata de una disminuci√≥n o decremento porcentual el √≠ndice de variaci√≥n ser√° IV=1-\\frac{p}{100}.
  • En una sucesi√≥n o cadena de cambios porcentuales, el √≠ndice de variaci√≥n total es el producto de los distintos √≠ndices de variaci√≥n parciales: IV_{total} =IV_{1} \\cdot IV_{2} \\cdot IV_{3} \\cdot \\cdot \\cdot IV_{n}¬†donde n indica el n√ļmero de cambios que queremos aplicar sobre la cantidad inicial.
  • Por √ļltimo, el resultado final de dichos cambios o cantidad final ser√° el resultado de multiplicar la cantidad inicial por el √≠ndice de variaci√≥n total C_{final}=C_{inicial} \\cdot IV_{total}
d

Matem√°ticas 1¬ļ y 2¬ļ de ESO

Problemas resueltos de variaciones porcentuales encadenadas

Las variaciones porcentuales se introducen en 1¬ļ de ESO, pero es en 2¬ļ de ESO cuando estudiamos la mejora que introduce el √≠ndice de variaci√≥n a la hora de calcular cambios porcentuales encadenados.

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 1

Un anticuario adquiere un mueble por 720 ‚ā¨. Lo pone a la venta incrementando su precio en un 30%, pero no consigue venderlo y tres meses despu√©s decide rebajarlo un 10% del precio fijado. ¬ŅCu√°l es el precio final del mueble?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generaci√≥n 1¬ļ de ESO, tema 6 – ejercicio 62).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial: 720‚ā¨

Incremento: 30%

Decremento: 10%

Pregunta: ¬Ņcu√°l es el precio final?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

 

Problemas resueltos de variaciones porcentuales - Fórmula de cambio porcentual

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el IV del primer cambio porcentual. Al ser un incremento:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

La segunda variación es un decremento, es decir, una bajada porcentual del 10%:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales es:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

El precio final ser√° de 842,40‚ā¨

(Conceptos trabajados: Fórmula de cambio porcentual, porcentajes encadenados, variaciones porcentuales).

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 2

Pablo va a comprar un su√©ter de 45 ‚ā¨ cuya etiqueta dice: “ll√©vatelo con el 25% de descuento“. La cajera le dice que por ser el √ļltimo su√©ter de ese estilo tiene un 20 % de descuento adicional al marcado en la etiqueta. ¬ŅCu√°nto pagar√° finalmente Pablo por el su√©ter?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generaci√≥n 1¬ļ de ESO, tema 6 – ejercicio 63).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial: 45‚ā¨

Descuento 1: 25%

Descuento 2: 20%

Pregunta: ¬Ņcu√°l es el precio final?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el IV del primer cambio porcentual. Al ser un descuento o decremento porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

La segunda variación es también un decremento porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales es:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

El precio final ser√° de 27‚ā¨

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 3

Un frigor√≠fico tiene un precio inicial de 890‚ā¨. Por liquidaci√≥n de existencias est√° rebajado un 15 %. Si se paga a plazos, el precio se incrementa en un 2,5 %. Calcula el precio final en esa modalidad de pago.

(Adaptado de SM Savia Nueva Generaci√≥n 1¬ļ de ESO, tema 6 – ejercicio 102).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial: 890‚ā¨

Descuento: 15%

Incremento por pago a plazos: 2,5%

Pregunta: ¬Ņcu√°l es el precio final?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el IV del primer cambio porcentual. Al ser un descuento o decremento porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

La segunda variación es un incremento porcentual debido a que el pago se hace a plazos:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales es:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

El precio final, aplicando el redondeo correspondiente ¬†ser√° de 775,41‚ā¨

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 4

Observa el precio de un litro de gasolina en el mes de mayo (1,47‚ā¨). En junio aument√≥ un 2% y en agosto aument√≥ un 1,5 Calcula el precio del litro de gasolina despu√©s de estos aumentos.

(Adaptado de SM Savia Nueva Generaci√≥n 1¬ļ de ESO, tema 6 – ejercicio 103).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial de la gasolina: 1,47‚ā¨

Aumento en junio: 2%

Aumento en agosto: 1,5%

Pregunta: ¬Ņcu√°l es el precio final?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el IV del primer cambio porcentual en julio. Al ser un incremento o aumento porcentual:

√ćndice de variaci√≥n

La segunda variación es un incremento porcentual en el mes de agosto:

√ćndice de variaci√≥n

Por tanto, el índice de variación total será:

√ćndice de variaci√≥n

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales es:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

El precio final del litro de gasolina, aplicando el redondeo correspondiente, ser√° de 1,52‚ā¨

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 5

En la tienda de electrodom√©sticos, el precio sin IVA de un ordenador es de 540 ‚ā¨, pero nos hacen un descuento del 15%. ¬ŅQu√© es mejor, aplicar primero el descuento y luego el IVA, o al rev√©s?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generaci√≥n 1¬ļ de ESO, tema 6 – ejercicio 105).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial del ordenador: 540‚ā¨

IVA: +21%

Descuento: -15%

Pregunta: ¬Ņqu√© es mejor: aumentar primero el IVA y luego aplicar el descuento o viceversa?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Como el producto cumple la propiedad conmutativa es lo mismo:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por lo que el orden en que apliquemos los cambios porcentuales encadenados no va a variar el resultado.

4) Solución

Por lo que el orden en que apliquemos los cambios porcentuales encadenados no va a variar el resultado.

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 6

Ana compr√≥ una falda de 45 ‚ā¨. En la etiqueta dec√≠a ll√©vesela con el 30 % de descuento. El cajero le inform√≥ que
podía obtener un descuento adicional del 10 % si pagaba en efectivo

a) Si Ana pag√≥ en efectivo, ¬Ņcu√°l fue el precio de la falda?
b) Si Ana pag√≥ con tarjeta de cr√©dito, ¬Ņcu√°nto debi√≥ pagar por la falda?
c) Si la etiqueta ofreciera un descuento del 40 % y no se ofreciera un descuento adicional en caja, ¬Ņpagar√≠a Ana el mismo valor que en el caso anterior?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generaci√≥n 1¬ļ de ESO, tema 6 – ejercicio 106).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial de la falda: 45‚ā¨

Descuento 1: 30%

Descuento 2, pagando en efectivo: 10%

Pregunta: ¬Ņcu√°l es el precio final?

2a) Planteamiento (efectivo)

Vamos a calcular precio aplicando los dos descuentos ya que se paga en efectivo.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3a) Resolución

El IV del primer cambio porcentual ya lo tenemos calculado en el apartado anterior.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

La segunda variación es también un descuento porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales aplicamos:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4a) Solución

El precio final de la faltada, pagando en efectivo, ser√° de 28,35‚ā¨

2b) Planteamiento (tarjeta)

En segundo lugar, probamos el caso en que Ana pague con tarjeta.

√ćndice de variaci√≥n

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3b) Resolución

Entonces, el IV total corresponde con el primer descuento √ļnicamente.¬†Por tanto, el √≠ndice de variaci√≥n total ser√°:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales aplicamos:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4a) Solución

El precio final de la faltada, pagando con tarjeta, ser√° de 31,50‚ā¨

2c) Planteamiento

Para comprobar que un descuento del 40% sería lo mismo que aplicar los dos descuentos del apartado a (-30% y -10%) tendrían que tener el mismo IV.

3c) Resolución

El IV del apartado a) era de 0,63. Vamos a ver el IV con un descuento del 40%

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4c) Solución

Como el IV que corresponde al descuento del 40% es distinto al de combinar un 30% y un 10%, podemos afirmar que Ana no pagaría lo mismo.

d

Matem√°ticas 2¬ļ de ESO

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

En 2¬ļ de ESO no se realiza ninguna ampliaci√≥n significativa de dificultad respecto a los ejercicios de proporciones y porcentajes.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 1

Calcula el resultado final de aplicar a una cantidad un aumento del 3% y una disminución del 5%. Calcula el porcentaje de variación respecto del precio inicial.
(SM Savia Nueva Generaci√≥n 2¬ļ de ESO, tema 4 – ejercicio 68).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 1

1) Datos

Cambio 1: +3%

Cambio 2: -5%

Pregunta: ¬Ņ% de cambio total?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el IV total como el producto de los IV de cada cambio:

Fórmula de cambio porcentual

3) Resolución

Calculamos el IV del aumento del 3%:

Y el IV de la disminución del 5%:

El IV total ser√°:

4) Solución

Como el IV total es menor que 1, quiere decir que en total ha habido una disminución: lo que antes valía 1, ahora vale 0,9785. Si lo pasamos a porcentajes, hemos cambiado del 100% al 97,85% lo que significa una reducción de:

%

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 2

69) Calcula el resultado final de aplicar los siguientes porcentajes encadenados. Calcula el porcentaje de variación respecto del precio inicial.
a) Aumento del 3 % y aumento del 3 %
b) Aumento del 12 % y disminución del 15 %
c) Aumento del 25 % y disminución del 60 %
d) Disminución del 10% y disminución del 15 %

(SM Savia Nueva Generaci√≥n 2¬ļ de ESO, tema 4 – ejercicio 69).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 2

a) Aumento del 3% y aumento del 3%

Calcula el IV total como el producto de los IV parciales:

Fórmula de cambio porcentual

Al ser mayor que 1, se trata de una subida porcentual: lo que valía 1, ahora vale 1,0609.

Si lo pasamos a porcentajes, 100% pasa a 106,09%, luego se trata de una subida del 6,09%. Como puedes ver no podemos sumar 3% y 3% porque daría 6% que no es la solución correcta.

b) Aumento del 12 % y disminución del 15 %

Calculamos el IV total como el producto de los IV parciales:

Al ser menor que 1, se trata de una bajada porcentual: lo que valía 1, ahora vale 0,952.

Si lo pasamos a porcentajes, 100% pasa a 95,2%, luego se trata de una bajada del 100%-95,2%=4,8%.

c) Aumento del 25 % y disminución del 60 %

Calculamos el IV total como el producto de los IV parciales:

Al ser menor que 1, se trata de una bajada porcentual: lo que valía 1, ahora vale 0,5.

Si lo pasamos a porcentajes, 100% pasa a 50%, luego se trata de una bajada del 100%-50%=50%.


d) Disminución del 10% y disminución del 15 %

Calculamos el IV total como el producto de los IV parciales:

Al ser menor que 1, se trata de una bajada porcentual: lo que valía 1, ahora vale 0,765.

Si lo pasamos a porcentajes, 100% pasa a 76,5%, luego se trata de una bajada del 100%-76,5%=24,5%.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 3

70) Una cantidad ha aumentado un 10% y despu√©s ha disminuido un 20%. El resultado final es 365,2. ¬ŅCu√°l era la¬†cantidad inicial?



(SM Savia Nueva Generaci√≥n 2¬ļ de ESO, tema 4 – ejercicio 70).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 3

1) Datos

Variación porcentual 1: +10%

Variación porcentual 2: -20%

Cantidad final: 365,2

¬ŅCu√°l ser√° la cantidad inicial?

2) Planteamiento

Vamos a calcular los IV de cada cambio porcentual y calcular el IV total como el producto de los dos anteriores. Luego, usaremos la fórmula Fórmula de cambio porcentual

3) Resolución

Calculamos el primero IV:

Calculamos el IV correspondiente a la disminución porcentual:

El IV total se calcula:

Fórmula de cambio porcentual

Como es un decimal menor que 1, en general, la cantidad sufrió una disminución por lo que la cantidad inicial debe de ser mayor que 365,2 que tenemos al final.

4) Solución

La cantidad inicial era de 415. Después de sufrir un descenso del 12% (IV=0,88), se quedó reducida a 365,2.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 4

71) Calcula la cantidad inicial en cada caso.

  1. Después de un aumento del 12% y de una disminución del 24%, se obtiene 306,432.
  2. Después de dos rebajas de 15% y del 12%, se obtiene 112.
  3. Después de una rebaja del 40% y de un aumento del 25%, se obtiene 366.
  4. Después de una rebaja del 10%, de un aumento del 20% y de una rebaja del 10%, se obtiene un resultado final de 3888.

(SM Savia Nueva Generaci√≥n 2¬ļ de ESO, tema 4 – ejercicio 71).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 4

En todos los casos, vamos a calcular el índice de variación como el producto de cada uno de los índices de variación de cada cambio en particular y, luego, usaremos la siguiente fórmula para calcular la cantidad inicial.

Fórmula de cambio porcentual

a) Después de un aumento del 12 % y de una disminución del 24 %, se obtiene 306,432.

El IV total se calcula:

Aplicando la fórmula

La cantidad inicial era de 360.

b) Después de dos rebajas de 15 % y del 12 %, se obtiene 112.

El IV total se calcula:

Aplicando la fórmula

La cantidad inicial era de 149,73 aproximadamente.

c) Después de una rebaja del 40 % y de un aumento del 25 %, se obtiene 366.

El IV total se calcula:

Aplicando la fórmula

La cantidad inicial era de 488.

d) Después de una rebaja del 10%, de un aumento del 20 % y de una rebaja del 10 %, se obtiene un resultado final de 3888.

El IV total se calcula:

Aplicando la fórmula

La cantidad inicial era de 4000.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 5

94) Las acciones de una compa√Ī√≠a han subido un 18% en 2020, pero han bajado un 12% en 2021.

  1. Si el precio inicial de la acci√≥n era de 25 ‚ā¨, ¬Ņcu√°l es su precio final?
  2. Si un inversor ha recibido 34,52 ‚ā¨ por una acci√≥n, ¬Ņa qu√© precio la adquiri√≥?



(SM Savia Nueva Generaci√≥n 2¬ļ de ESO, tema 4 – ejercicio 94).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 5

1) Datos

  • Variaci√≥n a√Īo 2020: +18%
  • Variaci√≥n a√Īo 2021: -12%
  1. Si Pinicial=25‚ā¨, entonces, ¬ŅPfinal?
  2. Si Pfinal=34,52‚ā¨, entonces, ¬ŅPinicial?

2) Planteamiento

Vamos a calcular los IV de cada cambio porcentual y calcular el IV total como el producto de los dos anteriores. Luego, usaremos la fórmula Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el primero IV1:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Calculamos el IV2 correspondiente a la disminución porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

El IVtotal se calcula:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Como es un decimal mayor que 1, en general, la cantidad sufrió un incremento por lo que la cantidad inicial debe de ser menor que la cantidad que tenemos al final.

a) Primera parte

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

b) Segunda parte

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

  1. El precio de una acci√≥n que val√≠a 25‚ā¨ queda en 25,96‚ā¨ despu√©s de las variaciones de precios de 2020 y 2021.
  2. Una acci√≥n, que ahora vale 34,52‚ā¨, se compr√≥ por 33,24‚ā¨ aproximadamente.
Problemas resueltos de variaciones porcentuales 6

101) Una cantidad disminuye un 60%. ¬ŅEn qu√© porcentaje debe aumentar para recuperar la cantidad inicial?
(SM Savia Nueva Generaci√≥n 2¬ļ de ESO, tema 4 – ejercicio 101).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 6

1) Datos

  • Variaci√≥n 1: -60%
  • Calcula % de variaci√≥n 2 para recuperar la cantidad inicial

2) Planteamiento

Como queremos que la cantidad final no cambie respecto de la inicial pues de realizar los dos cambios porcentuales, buscaremos cuánto debe valer el IV2 para que el índice de variación total valga uno.

3) Resolución

Calculamos el primero IV1:

Calculamos el IV2 correspondiente para que IVtotal sea 1:

Sustituyendo los valores que conocemos:

Despejamos IV2:

4) Solución

Como el IV2 vale 2,5 nos indica que de

Entonces, del 100% pasamos al 250% por lo que el incremento necesario para recuperar la cantidad inicial ser√° 250%-100% del 150%.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 7

102) Una cantidad disminuy√≥ un 10%, ¬Ņen qu√© porcentaje debe aumentar para que se obtenga el triple de la cantidad inicial?

(SM Savia Nueva Generaci√≥n 2¬ļ de ESO, tema 4 – ejercicio 102).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 7

1) Datos

  • Variaci√≥n 1: -10%
  • Calcula % de subida para que el resultado final ser√° el triple del inicial

2) Planteamiento

Para que algo valga el triple debemos pasar del 100% de su valor al 300%. Por tanto, el IVtotal debe ser 3. Calcularemos el IV1 y despejamos en la formula:

Fórmula de cambio porcentual

3) Resolución

Calculamos el primero IV1:

Calculamos el IV2 correspondiente para que IVtotal sea 3:

Sustituyendo los valores que conocemos:

Despejamos IV2:

4) Solución

Como el IV2 vale 3,33 nos indica que de

Entonces, del 100% pasamos al 333,33% por lo que el incremento necesario para recuperar la cantidad inicial ser√° 333,33%-100% del 233,33%.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 8

103)¬†Una cantidad aument√≥ un 25%, ¬Ņen qu√© porcentaje debe disminuir para obtener la cantidad inicial?

(SM Savia Nueva Generaci√≥n 2¬ļ de ESO, tema 4 – ejercicio 103).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 8

1) Datos

  • Variaci√≥n 1: +25%
  • Calcula % de bajada para que el resultado final sea igual que la cantidad inicial.

2) Planteamiento

Para que no haya cambios en la cantidad, el IVtotal debe ser 1. Calcularemos el IV1 y despejamos en la formula:

3) Resolución

Calculamos el primero IV1:

Calculamos el IV2 correspondiente para que IVtotal sea 1:

Sustituyendo los valores que conocemos:

Despejamos IV2:

4) Solución

Como el IV2 vale 0,80 nos indica que de

Entonces, del 100% pasamos al 80%, por lo que la disminución necesaria para recuperar la cantidad inicial será 100%-80% del 20%.

1¬ļ de ESO

Vídeos

2¬ļ de ESO

Consultas

¬ŅDudas?

Youtube: Repasa la teoría en vídeo. Haz un comentario al vídeo o a esta entrada para hacer tu pregunta. Email: info@leccionesdemates.com Me podré en contacto contigo lo antes posible.

Origen de los ejercicios

Estos ejercicios est√°n tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generaci√≥n de la editorial SM. En concreto, de los libros de texto de 1¬ļ y 2¬ļ de ESO. ¬†Aparecen citados aqu√≠ para ayudar a mis estudiantes en sus clases.¬†Ir a SM Savia.¬†

Proporciones y porcentajes - Tema 7 - 1¬ļ de ESO
Ejercicios resueltos de proporciones y porcentajes
Resumen
Problemas resueltos de variaciones porcentuales
Nombre del artículo
Problemas resueltos de variaciones porcentuales
Descripción
ūüĎČ Problemas resueltos de variaciones porcentuales ‚úö porcentajes encadenados ‚úö f√≥rmula de cambio porcentual. ¬°¬°ūüÜô tu nivel ūüÜď!!
Autor
Publisher Name
LeccionesDeMates.com
Publisher Logo
A %d blogueros les gusta esto: