Ejercicios resueltos producto y división de radicales

Producto y división de radicales: ejercicios resueltos
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Producto y división de radicales

“Para poder multiplicar o dividir radicales, deben ser homogéneos, es decir, tener el mismo índice.

Ten en cuenta:

  • Si son homogéneos, se deja el mismo índice y se multiplican o dividen los radicandos.
  • Si no son homogéneos, debemos reducirlos a índice común antes de hacer la multiplicación o división.
d

Matemáticas 3º de ESO

Ejercicios resueltos de producto y división de radicales homogéneos

En 3º de ESO, se trabaja en profundidad el tema de los raíces o radicales. Las operaciones de multiplicación y producto de radicales son muy importantes. Vamos a realizar algunos ejemplos para que puedas practicar. Recuerda que es importante que primero los intentes resolver tú mismo y, luego, mires la solución y los pasos hasta llegar a ella.

Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 1
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de producto y división de radicales 1
Producto y división de radicales

Como los tres radicales son homogéneos (mismo índice), podemos utilizar la fórmula del producto de radicales con el mismo índice:

De este modo,

Producto y división de radicales

Simplificamos el radicando de la raíz.

Producto y división de radicales

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Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 2
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de producto y división de radicales 2
Producto y división de radicales

Como los tres radicales son homogéneos (mismo índice), podemos utilizar la fórmula del producto de radicales con el mismo índice:

Producto de dos raíces con el mismo índice

De este modo,

Producto y división de radicales

Simplificamos el radicando de la raíz.

Producto y división de radicales

Por último, simplificamos el resultado recordando que:

Por tanto,

Producto y división de radicales

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Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 3
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de producto y división de radicales 3
Producto y división de radicales

Como los tres radicales son homogéneos (mismo índice), podemos utilizar la fórmula del producto de radicales con el mismo índice:

De este modo,

Producto y división de radicales

Simplificamos el radicando de la raíz.

Producto y división de radicales

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Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 4
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de producto y división de radicales 4

Como los tres radicales son homogéneos (mismo índice), podemos utilizar la fórmula del producto de radicales con el mismo índice:

De este modo,

Simplificamos el radicando de la raíz.

Simplificamos la fracción del radicando.

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Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 5
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de producto y división de radicales 5
Producto y división de radicales

Como los tres radicales son homogéneos (mismo índice), podemos utilizar la fórmula del producto de radicales con el mismo índice:

Producto y división de radicales

De este modo,

Producto y división de radicales

Simplificamos el radicando de la raíz.

Producto y división de radicales

Simplificamos la fracción del radicando.

Producto y división de radicales

Simplificamos el radical.

Producto y división de radicales

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Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 6
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de producto y división de radicales 6

Para resolver el producto de estos dos paréntesis, vamos a utilizar la propiedad distributiva multiplicando cada término del primer paréntesis por cada término del segundo.

Realizamos los 4 productos de radicales indicados multiplicando los coeficientes entre sí y las raíces entre ellas.

Simplificamos la segunda y tercera raíz que son exactas.

Calculamos los dos productos que nos quedan.

Podemos sumar los dos términos que tienen raíces porque son semejantes y los dos que no tienen raíces también se pueden sumar entre sí.

Finalmente,

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Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 7
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de producto y división de radicales 7

Para resolver este producto multiplicamos el factor por cada uno de los dos términos que hay dentro del paréntesis usando la propiedad distributiva.

Realizamos los 2 productos de radicales indicados que son homogéneos (mismo índice).

Simplificamos las fracciones de los radicandos.

Simplificamos las raíces.

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Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 8
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de producto y división de radicales 8

Para resolver este producto, usamos la expresión notable de la suma por su diferencia:

Entonces,

Los cuadrados se simplifican con las raíces cuadradas.

Ahora, quitamos los paréntesis.

Los dos 3 se anulan y simplificamos los términos con a.

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Ejercicios resueltos de producto y división de radicales 9
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de división de radicales 9

Para resolver esta división, usamos la fórmula de la división de raíces con el mismo índice (homogéneas):

Entonces,

Factorizamos los términos de la fracción.

Simplificamos la fracción.

Como el numerador y el denominador están elevados a la misma potencia, aplicamos la formula.

Por tanto,

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Ejercicios resueltos de división de radicales 10
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de división de radicales 10

Para resolver esta división, usamos la fórmula de la división de raíces con el mismo índice (homogéneas):

Entonces,

Simplificamos las dos fracciones.

Extraemos factores del radicando.

Calculamos el producto de todos los coeficientes que hay fuera de la raíz.

Por último, simplificamos el coeficiente.

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Ejercicios resueltos de división de radicales 11
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de división de radicales 11

Para resolver esta división, usamos la fórmula de la división de raíces con el mismo índice (homogéneas):

Entonces,

Simplificamos la fracción.

Factorizamos el radicando para ver si el radical se puede simplificar.

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Ejercicios resueltos de división de radicales 12
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de división de radicales 12

Para resolver esta división, usamos la fórmula de la división de raíces con el mismo índice (homogéneas):

Entonces,

Simplificamos la fracción.

Simplificamos el radical porque el índice y la potencia del radicando se pueden dividir entre 3.

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Ejercicios resueltos de división de radicales 13
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de división de radicales 13

Para resolver esta división, usamos la fórmula de la división de raíces con el mismo índice (homogéneas):

Entonces,

Simplificamos la fracción.

Factorizamos el radicando para ver si podemos simplificar el radical..

Extraemos factores del radicando.

Finalmente, simplificamos el resultado.

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Ejercicios resueltos de división de radicales 14
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de división de radicales 14

Para resolver esta división, usamos la fórmula de la división de raíces con el mismo índice (homogéneas):

Entonces,

Simplificamos la fracción.

Como los exponentes de los factores del radicando son menores que el índice y no tienen tampoco un divisor común, no podemos simplificar más el radical.

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Ejercicios resueltos de división de radicales 15
Calcula y simplifica:

Solución ejercicios resueltos de división de radicales 15

Para resolver esta división, usamos la fórmula de la división de raíces con el mismo índice (homogéneas):

Entonces,

Simplificamos la fracción.

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Reducir a índice común

1) Calculamos el mcm de los índices de los radicandos.

2) Elevamos cada radicando al cociente de la división del mcm calculado entre el índice del radical.

d

3º de ESO

Producto y división de radicales no homogéneos

Los radicales que no son homogéneos deben reducirse a índice común antes de poder realizarse el producto o división indicada en el ejercicio.

Ejercicios resueltos de producto de radicales 1
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 1

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los índices.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 6 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos el radicando del primer factor al cubo (división de la izquierda) y elevamos el radicando del segundo factor al cuadrado (división de la derecha).

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Como puedes observar, el índice de la raíz y los exponentes del radicando no tienen ningún divisor en común, y tampoco podemos extraer factores, por lo que ya hemos llegado al resultado final.

Simplificamos el radicando.

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Ejercicios resueltos de producto de radicales 2
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 2

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los índices.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 6 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos el radicando del primer factor al cuadrado (división de la izquierda) y elevamos el radicando del segundo factor al cubo (división de la derecha).

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Como puedes observar, el índice de la raíz y los exponentes de los radicandos no tienen ningún divisor en común, y tampoco podemos extraer factores, por lo que ya hemos llegado al resultado final.

Simplificamos el radicando.

(Ejercicios resueltos de producto de radicales – LeccionesDeMates.com)

Ejercicios resueltos de producto de radicales 3
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 3
Producto y división de radicales

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los índices.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 6 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos el radicando del primer factor al cubo (división de la izquierda) y elevamos el radicando del segundo y tercer factor al cuadrado (división de la derecha).

Producto y división de radicales

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Como puedes observar, el índice de la raíz y los exponentes de los radicandos no tienen ningún divisor en común, y tampoco podemos extraer factores, por lo que ya hemos llegado al resultado final.

Simplificamos el radicando.

Producto y división de radicales

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Ejercicios resueltos de producto de radicales 4
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 4

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los índices.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 12 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos los radicandos a 2, 4 y 3 en orden de izquierda a derecha.

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Factorizamos el radicando.

Como puedes observar, el índice de la raíz y los exponentes de los radicandos no tienen ningún divisor en común, y tampoco podemos extraer factores, por lo que ya hemos llegado al resultado final.

Simplificamos el radicando.

(Ejercicios resueltos de producto de radicales – LeccionesDeMates.com)

Ejercicios resueltos de producto de radicales 5
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 5

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los índices.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 12 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos los radicandos a 6, 4 y 3 en orden de izquierda a derecha.

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Realizamos los productos del radicando.

Como puedes observar, el índice de la raíz y los exponentes de los radicandos no tienen ningún divisor en común, pero sí que podemos extraer factores porque la potencia del radicando es mayor que el índice de la raíz.

Divismos el exponente entre el indice

El cociente (1) nos indica que sale el factor elevado a 1 y el resto (1) no da el exponente del radicando.

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Ejercicios resueltos de producto de radicales 6
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 6

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 6 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos los radicandos a 3, 2 y 1 en orden de izquierda a derecha.

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Realizamos los productos del radicando.

Podemos extraer factores porque la potencia de la x es mayor que el índice de la raíz.

Dividimos el exponente entre el indice

El cociente (2) nos indica que sale el factor elevado al cuadrado y el resto (0) nos dice que no se quedan el factor dentro del radicando.

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Ejercicios resueltos de producto de radicales 7
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 7

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 12 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos los radicandos a 6, 4 y 3 en orden de izquierda a derecha.

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Realizamos los productos del radicando.

Simplificamos la fracción del radicando.

No podemos extraer factores porque las potencias de radicando son menores que el índice y no podemos simplificar porque no tienen un divisor común. Por tanto, resolvemos las potencias para terminar.

(Ejercicios resueltos de producto de radicales – LeccionesDeMates.com)

Ejercicios resueltos de producto de radicales 8
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 8

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 12 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos los radicandos a 3, 2 y 4 en orden de izquierda a derecha.

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Realizamos los productos del radicando.

Simplificamos la fracción del radicando.

No podemos extraer factores porque las potencias de radicando son menores que el índice y no podemos simplificar porque no tienen un divisor común. Por tanto, ya hemos obtenido el resultado.

(Ejercicios resueltos de producto de radicales – LeccionesDeMates.com)

Ejercicios resueltos de producto de radicales 9
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 9

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de los.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 12 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

Por lo tanto, elevamos los radicandos a 3 y 2 en orden de izquierda a derecha.

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Realizamos los productos del radicando.

Dentro del radicando, podemos extraer el factor b porque su exponente el mayor que el índice.

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Ejercicios resueltos de producto de radicales 10
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 10

Vamos a multiplicar la raíz por cada uno de los dos términos de dentro del paréntesis, aplicando la propiedad distributiva.

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de las raíces de cada sumando.

Dividimos el mínimo común múltiplo que hemos calculado, es decir, 6 y 4 entre los índices de las raíces originales y elevamos cada radicando el resultado de la división.

y del segundo sumando

Por lo tanto, elevamos los radicandos a 3 y 2 en orden de izquierda a derecha y, en el segundo sumando, a 2 y 1.

Como ahora son raíces homogéneas, es decir, que tienen el mismo índice, podemos aplicar la fórmula.

Realizamos los productos de los radicandos.

Como los radicales no son homogéneos, debemos dejar la resta indicada.

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Ejercicios resueltos de producto de radicales 11
Opera y simplifica.

Solución ejercicios resueltos de producto de radicales 11

Vamos a multiplicar la raíz por cada uno de los dos términos de dentro del paréntesis, aplicando la propiedad distributiva.

Como las raíces no son homogéneas (se dice que son heterogéneas), no podemos aplicar directamente la fórmula del producto de dos raíces. Primero tenemos que conseguir igualar los índices. Para ello, calculamos en primer lugar el mínimo común múltiplo de las raíces de cada sumando.