¿Qué es la racionalización de denominadores?

Por racionalización de denominadores nos referimos al proceso que nos permite eliminar raíces del denominador de una fracción. En esta entrada veremos cómo realizar la racionalización denominadores de fracciones para poder luego seguir realizando operaciones como sumas y restas de dichas fracciones.

Quiero ir directamente a los 27 ejercicios resueltos de racionalización y saltarme la explicación.

Este proceso nos permite realizar operaciones de este tipo:

\displaystyle {\frac{1}{\sqrt[]{2}}+ \frac{1}{3} }

Para hacer esta suma de dos fracciones tenemos que calcular el mcm de los denominadores, pero como tenemos  \displaystyle \sqrt[]{2} en el denominador de la primera, no podemos calcularlo.

La solución es racionalizar el primer denominador.

En esta primera entrada, te vamos a mostrar cómo racionalizar denominadores de fracciones que tienen una raíz cuadrada en el denominador.

Racionalización de denominadores con una raíz cuadrada

El procedimiento completo te los mostramos en este vídeo:

Siguiendo lo que hemos aprendido, podemos terminar nuestro ejemplo anterior:

\displaystyle \frac{1}{\sqrt[]{2}}+\frac{1}{3}

Multiplicamos la fracción que queremos racionalizar por \sqrt[]{2}

\displaystyle \frac{1}{\sqrt[]{2}}\cdot{}\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}+\frac{1}{3}=

Hacemos el producto de las dos fracciones:

\displaystyle \frac{\sqrt[]{2}}{(\sqrt[]{2})^2}+\frac{1}{3}=

Al elevar a 2 una raíz cuadrada, se anulan las dos operaciones por lo que se nos queda un 2 en el denominador:

\displaystyle \frac{\sqrt[]{2}}{2}+\frac{1}{3}=

Como puedes ver, ya hemos logrado quitar la raíz del denominador. Ahora, hacemos el mcm de 2 y 3 que es 6 y ajustamos los numeradores:

\displaystyle \frac{3\cdot{}\sqrt[]{2}}{6}+\frac{2}{6}=

Como las dos fracciones tienen el mismo numerador, podemos sumarlas dejando ese denominador y sumando los numeradores. Con esto obtenemos el resultado final:

\displaystyle \frac{3\cdot{}\sqrt[]{2}+2}{6}

Descargar más ejercicios resueltos de racionalización de denominadores.

Racionalización de un denominador con una raíz de índice mayor que 2.

Este caso es similar al anterior, se trata de quitar del denominador de una fracción una única raíz. Sin embargo, en este caso, se trata de una raíz cuyo índice es mayor que 2.

La forma general de realizar esta racionalización es la siguiente. Multiplicaremos la fracción por otra fracción de la siguiente manera:

\displaystyle \frac1{\sqrt[n]{a^m}}\cdot\frac{\sqrt[n]{a^{\left(n-m\right)}}}{\sqrt[n]{a^{\left(n-m\right)}}}= 

De primeras, te puede parecer una fórmula inmanejable, pero con el siguiente ejemplo, seguro que lo ves mejor:

\displaystyle  \frac1{\sqrt[5]{a^2}}\cdot\frac{\sqrt[5]{a^{\left(5-2\right)}}}{\sqrt[n]{a^{\left(5-2\right)}}}=

\displaystyle \frac1{\sqrt[5]{a^2}}\cdot\frac{\sqrt[5]{a^3}}{\sqrt[5]{a^3}}=

Si te fijas, en la raíz del denominador que queremos racionalizar tenemos \displaystyle a^2 y en el índice de la raíz un 5. Si restamos \displaystyle 5-3 vemos que nos faltan 3 para que la a pudiera salir de la raíz quinta. Por eso, multiplicamos arriba y abajo por \displaystyle \sqrt[5]{a^3}. En el ejemplo, vamos a multiplicar las dos fracciones:

\displaystyle \frac{1\cdot\sqrt[5]{a^3}}{\sqrt[5]{a^2}\cdot\sqrt[5]{a^3}}=

En el numerador no tenemos que hacer nada, ya que estamos multiplicando por 1.

En el denominador tenemos el producto de dos raíces con el mismo índice. Recuerda que dejaremos el mismo índice y multiplicaremos los radicandos.

$latex  \displaystyle \frac{\sqrt[5]{a^3}}{\sqrt[5]{a^2\cdot a^3}}=$

En el radicando de la raíz del denominador, nos encontramos con el producto de dos potencias con la misma base. Para simplificar, realizaremos la multiplicación dejando la misma base y sumando los exponentes.

\displaystyle \frac{\sqrt[5]{a^3}}{\sqrt[5]{a^{2+3}}}=

\displaystyle \frac{\sqrt[5]{a^3}}{\sqrt[5]{a^5}}=

Gracias a todo el proceso que hemos seguido, tenemos en el denominador un radicando elevado a la misma potencia que el índice de la raíz, por lo que podemos quitar la raíz y la potencia:

\displaystyle \frac{\sqrt[5]{a^3}}a=

Y ya tenemos una fracción equivalente a la primera, pero con la ventaja de que hemos eliminado la raíz del denominador.

Al final del texto, te dejo un PDF con muchos ejercicios resueltos de racionalización para que practiques. El siguiente vídeo te resume lo aprendido y te muestra más ejercicios resueltos.

 

Racionalización de un denominador con un binomio de una o dos raíces cuadradas – Conjugado.

El conjugado de un binomio, es la misma expresión, pero con el signo contrario. Por ejemplo, el conjugado de \displaystyle (a+b) es \displaystyle (a-b) y viceversa.

Tenemos que recordar también una de las expresiones notables más famosas: el producto de una suma por su diferencia, es decir, el producto de dos binomios conjugados:

\displaystyle (a+b)\cdot(a-b) = a^2 - b^2

Con todos estos conceptos previos, ya estamos preparados para racionalizar una fracción en cuyo denominador no encontremos con un binomio formado por la suma o diferencia de una o dos raíces cuadradas.

El procedimiento general será multiplicar la fracción original por el conjugado del denominador. Por ejemplo, para racionalizar esta fracción:

\displaystyle \frac1{a-\sqrt b}=

la multiplicaremos por una fracción formada por el conjugado del denominador:

\displaystyle \frac1{\left(a-\sqrt b\right)}\cdot\frac{\left(a+\sqrt b\right)}{\left(a+\sqrt b\right)}=

Hacemos la multiplicación indicada de las dos fracciones:

\displaystyle \frac{1\cdot\left(a+\sqrt b\right)}{\left(a-\sqrt b\right)\cdot\left(a+\sqrt b\right)}=

Arriba no tenemos que hacer nada. En el denominador, usamos la expresión notable que hemos visto arriba:

\displaystyle \frac{\left(a+\sqrt b\right)}{a^2-\left(\sqrt b\right)^2}=

En el denominador, la raíz cuadrada se anula porque el radicando está elevado a 2.

\displaystyle \frac{\left(a+\sqrt b\right)}{a^2-b}=

Y, con este proceso, logramos quitar la raíz cuadrada del denominador.

En este vídeo, de mostramos más ejemplos. Puedes usarlos para practicar.

Ejercicios resueltos de racionalización de denominadores

Te dejamos este documento en PDF que puedes descargar para trabajar en casa. En él encontrarás varios ejercicios de racionalización de fracciones cuyo denominador tiene una única raíz cuadrada resueltos paso a paso. Intenta copiar los enunciados y hacer los ejercicios tú mismo. Después puedes usar el fichero para comprobar las soluciones. Si tienes dudas sobre algún caso en particular u otro ejemplo que hayas visto en clase, no dudes en plantear tus preguntas en los comentarios de esta entrada del blog o en el vídeo de YouTube.

Se incluyen los siguientes caso:

  • Racionalización de un denominador con una raíz cuadrada.
  • Racionalización de un denominador con una única raíz de índice mayor que 2.
  • Racionalizar un binomio con una o dos raíces cuadradas (caso del conjugado).

Descargar PDF con ejercicios resueltos

Descargar los ejercicios (PDF, 649KB)

 

14 Comentarios

  1. Para racionalizar cuando abajo tienes un trinomio, debes poner paréntesis para que parezca un binomio:
    p + 2*raíz(q) – 5*raíz(r) lo escribes como (p + 2*raíz(q)) – 5*raíz(r) y entonces su conjugado sería:
    (p + 2*raíz(q)) + 5*raíz(r)

    Responder
  2. favor ayudarme con este ejercicio de racionalización con literales:

    _____________
    √(a+b)/[√(a+b) – √(a-b)]

    ** La primera raíz √ del denominador llega hasta √a-b, por eso puse una línea recta

    Responder
    • Hola Roberto, como es un poco larga la solución, la he puesto como el ejercicio Z del PDF de ejercicios resueltos de este mismo artículo. Para cualquier duda, no dudes en consultarla por aquí. Un saludo.

      Responder
      • Alfredo, se parece mucho al ejercicio z, pero en el denominador la primera raíz es todo el denominador y la segunda raíz va adentro de la primera:
        ______________
        ______ / _____
        √(a+b) / [√(a+b) – √(a-b)]

        Espero se entienda ahora…

        Responder
      • Alfredo, lo único es que en el ejercicio z el denominador tiene las raíces separadas. Mi ejercicio tiene en el denominador:
        \/(a+b) – \/(a-b) donde la primera raíz (\/) de (a+b) cubre todo el denominador y la segunda raíz (\/) está dentro de la primera. Es decir:
        ______________
        \/(a+b) – \/(a-b)

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          • Muchísimas gracias equipo leccionesdemates.com. Se pasaron.

  3. Hola, una consulta… En el ejercicio w) el resultado me coincide, pero ví en un libro que pide racionalizar el denominador y como Rta: – (√2 – √3)² … LLego al resultado -5+2√6 pero me interesa saber cómo llegar al resultado anterior… Me darías una mano? Saludos!

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    • Tienes que recordar el cuadrado de la diferencia cuya fórmula es (a-b)² = a² -2ab + b²
      Entonces – (√2 – √3)² = -[(√2)² – 2 ·√2·√3+ (√3)² ]=
      -[2 – 2√6 +3]=
      -[5-2√6]=
      Y para quitar los corchetes, pones los opuestos de dentro:

      -5 + 2√6

      Espero que te sirva.

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      • me puedes ayudar con este ejercicio de racionalización √2+ 2√7 / 4√5 -3√7=

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        • Multiplicamos por el conjugado:
          (√2+ 2√7) / (4√5 -3√7) * (4√5+3√7)/(4√5+3√7)

          Multiplicamos las dos fracciones:

          (√2+ 2√7)*(4√5+3√7) / (4√5 -3√7)*(4√5+3√7)

          Arriba hacemos la distributiva y abajo el producto de una suma por su diferencia:

          (4√10 + 3√14 + 8√35 + 42) / (16·5 + 9·7) =

          (4√10 + 3√14 + 8√35 + 42) / 17

          Un saludo.

          Responder
  4. En el tema de racionalización de denominadores con binomio de una o dos raíces cuadradas – conjugado hay un error:

    (a+b) es (a+b) y viceversa.

    se supone que conjugado de (a+b) es (a-b)

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    • Hola Daniel, efectivamente el conjugado de (a+b) es (a-b). Había una errata en el primer párrafo. Gracias por ayudarme a mejorar la calidad del blog. Un saludo desde Granada.

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