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Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

En trigonometría, las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos son conceptos fundamentales que nos permiten relacionar las funciones trigonométricas de dos o más ángulos. Estas identidades son especialmente útiles para simplificar expresiones trigonométricas y resolver problemas geométricos.

Suma de ángulos

Si conocemos las razones trigonométricas de dos ángulos, podemos obtener las razones del ángulo suma mediante las siguientes fórmulas:

Fórmula del seno de la suma de dos ángulos

Fórmula del coseno de la suma de dos ángulos

Fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos

Por ejemplo, si conocemos las razones trigonométricas de ángulos notables, podemos calcular (sin calculadora) las razones de 75º (como suma de 45º + 30º.

Diferencia de ángulos

Si conocemos las razones trigonométricas de dos ángulos, podemos obtener las razones del ángulo resta mediante las siguientes fórmulas:

Fórmula del seno de la resta de dos ángulos

Fórmula del coseno de la resta de dos ángulos

Fórmula de la tangente de la resta de dos ángulos

Ejemplos resueltos

Si conocemos las razones trigonométricas de dos ángulos, podemos obtener las razones del ángulo suma mediante las siguientes fórmulas:

Ejemplo resuelto de seno de la suma de dos ángulos

Dado que conocemos las razones trigonométricas de ángulos notables, podemos calcular (sin calculadora) las razones de 75º (como suma de 45º+30º).

Seno de 75 como la suma de seno de 45 y 30

Cálculos del seno de 75 como la suma de seno de 45 y 30

Si conocemos las razones trigonométricas de dos ángulos, podemos obtener las razones del ángulo resta mediante las siguientes fórmulas.

Ejemplo resuelto de seno de la diferencia de dos ángulos

Sabiendo que Valor del seno de 25 grados 0-4226, podemos calcular el seno de 5º como la diferencia entre las razones trigonométricas de 30º y 25º.

Como sabemos las razones de 30º (es un ángulo notable), podemos expresarlo de la siguiente forma:

Seno de 5 como la diferencia entre el seno de 30 y 25

Operaciones del Seno de 5 como la diferencia entre el seno de 30 y 25

Nos falta conocer cos(25), pero como tenemos Valor del seno de 25 grados 0-4226, podemos hallarlo usando la fórmula fundamental de la trigonometría Identidad fundamental del álgebra aplicada al ángulo de 25

Para calcular Identidad fundamental del álgebra aplicada al ángulo de 25, si sabemos queValor del seno de 25 grados 0-4226, podemos reorganizar la ecuación para encontrar Coseno de 25 al cuadrado:

Coseno de 25 al cuadrado despejado

Sustituyendo Valor del seno de 25 grados 0-4226 en la ecuación obtenemos:

Coseno de 25 al cuadrado operaciones 2

Coseno de 25 al cuadrado operaciones 3

Coseno de 25 resultado con decimales

Sustituyendo en la fórmula que dejamos planteada arriba:

Seno de 5 como diferencia de 30 y 25 resultado final

Ejemplo resuelto de razones trigonométricas de la suma de ángulos

Calcular usando las fórmulas de suma de ángulos cuándo vale \sin(75^\circ).

Solución ejercicio resuelto 1 de razones trigonométricas de la suma de ángulos

Podemos expresar 75° como la suma de 45° y 30°. Entonces, aplicamos la fórmula de suma de ángulos:

\begin {align} \sin(75^{\circ}) &= \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) \\ &= \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) + \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{}

Ejemplo resuelto de razones trigonométricas de la suma de ángulos

Calcular cos(75°) usando las fórmulas de suma de ángulos.

Solución ejercicio resuelto 2 de razones trigonométricas de la suma de ángulos

Al igual que en el ejercicio anterior, expresamos 75° como la suma de 45° y 30°. Luego, aplicamos la fórmula de suma de ángulos:

cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°) = √2/2 * √3/2 - √2/2 * 1/2 = (√6 - √2)/4

Ejemplo resuelto de razones trigonométricas de la suma de ángulos

Calcular tan(75°) usando las fórmulas de suma de ángulos.

Solución ejercicio resuelto 3 de razones trigonométricas de la suma de ángulos

De nuevo, expresamos 75° como la suma de 45° y 30°. Aplicamos la fórmula de suma de ángulos:

tan(75°) = tan(45° + 30°) = (tan(45°) + tan(30°)) / (1 - tan(45°)tan(30°)) = (1 + 1/√3) / (1 - 1 * 1/√3) = 2 + √3

Ejemplo resuelto 4 de las razones trigonométricas de la resta de ángulos

Calcular sin(135^\circ - 120^\circ) usando las fórmulas de las razones trigonométricas de la diferencia de ángulos.

Solución ejemplo resuelto 4 de las razones trigonométricas de la resta de dos ángulos

Aplicamos la fórmula de la diferencia de ángulos para el seno:

\begin{align} \sin(135^\circ - 120^\circ) &= \sin(135^\circ)\cos(120^\circ) - \cos(135^\circ)\sin(120^\circ) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot -\frac{1}{2} - \frac{-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{-\sqrt{2}}{4} - \frac{-\sqrt{6}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{align}

 

Ejemplo resuelto 5 de las razones trigonométricas de la resta de ángulos

Calcular Coseno de la diferencia de 150 y 30 grados usando las fórmulas de las razones trigonométricas de la diferencia de ángulos.

Solución ejemplo resuelto 5 de las razones trigonométricas de la resta de dos ángulos

Solución:
Aplicamos la fórmula de la diferencia de ángulos para el coseno:

Cálculos y solución del Coseno de la diferencia entre los ángulos 150 y 30

Ejemplo resuelto 6 de las razones trigonométricas de la resta de ángulos

Calcular sin(135^\circ - 120^\circ) usando las fórmulas de las razones trigonométricas de la diferencia de ángulos.

Solución ejemplo resuelto 6 de las razones trigonométricas de la resta de dos ángulos

Calcular tan(180^\circ - 45^\circ) usando las fórmulas de las razones trigonométricas de la diferencia de ángulos.

Solución:
Aplicamos la fórmula de la diferencia de ángulos para la tangente:

Fórmula para la tangente de la resta de dos ángulos

Tangente de la diferencia de dos ángulos 180º y 45º

tg(180- 45) = \dfrac{tg(180) - tg(45)}{1+tg(180) \cdot tg(45)}

tg(180- 45) = \dfrac{0 - 1}{1+0 \cdot 1}=\dfrac{- 1}{1}=-1

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Razones trigonométricas, teoría y ejercicios resueltos
Razones trigonométricas de los ángulos notables 30º, 45º y 60º
Resumen
▷ Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
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📐 Aplica las fórmulas de la suma y diferencia de dos ángulos para simplificar el cálculo de las razones trigonométricas. Ejemplos resueltos y teoría. ✨
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