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Razones trigonométricas de los ángulos notables

A los ángulos de 30º, 45º y 60º (o sus equivalentes en radianes π/6 rad, π/4 rad y π/3 rad) se les denomina ángulos notables. Esta designación no es arbitraria; más bien, proviene de su frecuente aparición en situaciones cotidianas. En la práctica, conocer de memoria los valores de las razones trigonométricas de los ángulos notables resulta de gran utilidad. Este conjunto de ángulos, al ser memorizado, se convierte en una valiosa herramienta, ya que proporciona la base para calcular eficientemente las razones trigonométricas de otros ángulos. Es a través de la comprensión y aplicación de las razones trigonométricas de los ángulos notables que se revela la versatilidad y poder de estas herramientas matemáticas en diversos contextos.

Deducción de razones trigonométricas notables de 30º y 60º

Ángulo notable de 30º (π/6 radianes)

Consideremos un triángulo equilátero ABC cuyos ángulos miden 60º y todos sus lados miden 1. Dicho triángulo se puede dividir en otros dos triángulos rectángulos separados por la línea de color verde que que representa a la altura del triángulo ABC . Designemos los lados del triángulo rectángulo:

  • Hipotenusa (h): Longitud del lado opuesto al ángulo recto. Mide 1, ya que el radio de la circunferencias es 1.
  • Cateto Opuesto (co): Longitud del lado opuesto al ángulo de 30º. En la figura, aparece en color rojo.
  • Cateto contiguo (cc): Longitud del lado adyacente al ángulo de 30º. En la figura, aparece en color verde.

Razones trigonométricas de los ángulos notables - Ángulo de 30º

  1. Hallar el cateto opuesto (co): como el lado BC mide 1, entonces el cateto opuesto mide la mitad que es \frac{1}{2}.
  2. Hallar el cateto contiguo (cc): En un triángulo equilátero ABC de lado 1, la altura (cateto opuesto) se obtiene dividiendo el triángulo en dos triángulos rectángulos congruentes. Usando el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es h^2=cc^2+co^2

Ahora, sustituimos los valores.

Teorema de Pitágoras aplicado al ángulo de 30º - Razones trigonométricas de los ángulos notables

Razones trigonométricas de los ángulos notables 30º

Razones trigonométricas de los ángulos notables 30º - Calculamos el cateto contiguo.

Entonces, hacemos la raíz cuadrada en los dos miembros.

Razones trigonométricas de los ángulos notables 30º. Coseno de 30º representado por el cateto contiguo.

Por último, la hipotenusa se calcula como el cociente entre el seno y el coseno.

Razones trigonométricas de los ángulos notables 30º - Tangente de 30º

Función TrigonométricaValor
Seno (30º)1/2
Coseno (30º)√3/2
Tangente (30º)√3/3
Cosecante (30º)2
Secante (30º)2/√3
Cotangente (30º)√3

Ángulo notable de 60º (π/3 radianes)

En un triángulo rectángulo cuyos ángulos miden 30º, 60º y 90º, el ángulo de 30º y el ángulo de 60º son complementarios, lo que significa que suman 90º. En términos de trigonometría, esto significa que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario.

Relación entre las razones trigonométricas de los ángulos complementarios 30º y 60º

Por lo tanto:

  • El seno de 60º es igual al coseno de (90º – 60º) = cos 30º = Razones trigonométricas de los ángulos notables - Seno de 60º.
  • El coseno de 60º es igual al seno de (90º – 60º) = sen 30º = Razones trigonométricas de los ángulos notables - Coseno de 60º.
  • La tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno, por tanto, Razones trigonométricas de los ángulos notables - Tangente de 60º

Esta relación entre el seno y el coseno de los ángulos de 30º y 60º es cierta para cualquier par de ángulos complementarios, no solo para 30º y 60º. Es una de las propiedades fundamentales de las razones trigonométricas.

Deducción de razones trigonométricas del ángulo de 45º

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo notable de 45°, primero trazamos dicho ángulo en la circunferencia goniométrica. Observaremos que el triángulo que se forma ABC es isósceles, donde el cateto contiguo y el cateto opuesto del ángulo \alpha miden lo mismo.

Razones trigonométricas del ángulo de 45º - Razones trigonométricas de los ángulos notables

Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos la ecuación 1 = cc^2 + co^2.

Como cc=co simplificamos

Razones trigonométricas de los ángulos notables - Cateto contiguo

Racionalizando los denominadores

Razones trigonométricas de los ángulos notables - racionalizando el denominador

Como el cateto opuesto vale lo mismo, entonces

Razones trigonométricas de los ángulos notables - El cateto opuesto y el contiguo miden igual en el ángulo de 45º

La tangente se define como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, por tanto, vale 1.

Resumiendo, las razones trigonométricas del ángulo notable de 45º se calculan como sigue:

  • Seno: \sin(45^\circ ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  • Coseno: \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  • Tangente: \tan(45^\circ) = 1

Tablas de razones trigonométricas de los ángulos notables

Ángulo (°)Ángulo (rad)SenoCosenoTangenteCotangenteSecanteCosecante
00010No definida1No definida
30\frac{\pi}{6}Razones trigonométricas de los ángulos notables - Seno de 30ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Coseno de 30ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Tangente de 30ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cotangente de 30ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Secante de 30ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cosecante de 30º
45\frac{\pi}{4}Razones trigonométricas de los ángulos notables - Seno de 45ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Coseno de 45ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Tangente de 45ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cotangente de 45ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Secante de 45ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cosecante de 45º
60\frac{\pi}{3}Razones trigonométricas de los ángulos notables - Seno de 60ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Coseno de 60ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Tangente de 60ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cotangente de 60ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Secante de 60ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cosecante de 60º
90\frac{\pi}{2}Razones trigonométricas de los ángulos notables - Seno de 90ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Coseno de 90ºNo definidaRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cotangente de 90ºNo definidaRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cosecante de 90º
180\piRazones trigonométricas de los ángulos notables - Seno de 180ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Coseno de 180ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Tangete de 180ºNo definidaRazones trigonométricas de los ángulos notables - Secante de 180ºNo definida
270\frac{3\pi}{2}Razones trigonométricas de los ángulos notables - Seno de 270ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Coseno de 270ºNo definidaRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cotangente de 270ºNo definidaRazones trigonométricas de los ángulos notables - Cosecante de 270º
3602\piRazones trigonométricas de los ángulos notables - Seno de 360ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Coseno de 360ºRazones trigonométricas de los ángulos notables - Tangente de 360ºNo definidaRazones trigonométricas de los ángulos notables - Secante de 360ºNo definida

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Razones trigonométricas, teoría y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos Teorema de Pitágoras - Matemáticas
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📐 Vamos a deducir las razones trigonométricas de los ángulos notables 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º, 270º y 360º ✨
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