Razones Trigonométricas en un triángulo rectángulo

¿Alguna vez te has preguntado cómo se pueden calcular las alturas de edificios o las distancias a objetos lejanos? La respuesta está en las razones trigonométricas, herramientas matemáticas que nos permiten relacionar los ángulos y lados de un triángulo rectángulo. En este artículo, exploraremos en detalle las principales razones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y descubriremos cómo se utilizan en la vida real.

Las razones trigonométricas son herramientas matemáticas fundamentales que nos permiten relacionar los ángulos de un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados. Estas razones son esenciales para resolver problemas que involucran triángulos rectángulos en diversos campos, como la física, la ingeniería, la navegación y la geometría. Examinemos más de cerca las principales razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

Hipotenusa, cateto contiguo y cateto opuesto de un ángulo en un triángulo rectángulo

Seno (sen α)

El seno de un ángulo α en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto a ese ángulo y la hipotenusa del triángulo. Matemáticamente, se expresa como:

Razones trigonométricas: definición de seno.

El valor del seno siempre está comprendido entre -1 y 1, y es una medida de la “verticalidad” del ángulo B. Cuando el ángulo es de 90 grados, el seno es igual a 1, lo que significa que el cateto opuesto es igual a la hipotenusa. Cuando el ángulo es de 0 grados, el seno es igual a 0, ya que el cateto opuesto se reduce a cero.

Rango y propiedades del seno

El valor del seno siempre oscila entre -1 y 1, actuando como una medida de la “verticalidad” del ángulo α. Cuando el ángulo es de 90 grados, el seno alcanza su valor máximo de 1, lo que significa que el cateto opuesto coincide con la hipotenusa. En cambio, cuando el ángulo es de 0 grados, el seno se reduce a 0, ya que el cateto opuesto se “desvanece”.

Ejemplo práctico

Imaginemos un triángulo rectángulo con un ángulo α de 30 grados. El cateto opuesto a este ángulo mide 3 cm y la hipotenusa 5 cm.

\sin 30^\circ = \frac{3 cm}{5 cm} = 0.6

  • En este caso, el seno de 30° nos indica que la “verticalidad” del ángulo α es del 60%.

Coseno (cos α)

El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o contiguo al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo. La fórmula del coseno es:

Razones trigonométricas: definición de coseno

El coseno varía entre -1 y 1, y representa la “horizontalidad” del ángulo α. Cuando el ángulo es de 0 grados, el coseno es igual a 1, lo que indica que el cateto contiguo es igual a la hipotenusa. Cuando el ángulo es de 90 grados, el coseno es igual a 0, ya que el cateto contiguo se reduce a cero.

Tangente (tg α)

La tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo a ese ángulo. Matemáticamente, se expresa como:

Razones trigonométricas: definición de tangente

La tangente representa la inclinación de la línea que pasa por el origen y el punto en la circunferencia unitaria asociada con el ángulo α. Cuando el cateto contiguo es igual a cero, la tangente es indefinida, ya que no se puede dividir por cero.

Cosecante, Secante y Cotangente

La cosecante (cosec α) es simplemente la razón inversa del seno:
Razones trigonométricas: definición de cosecante

La secante (sec α) es la razón inversa del coseno:

Razones trigonométricas: definición de secante

La cotangente (cotg α) es la razón inversa de la tangente:

Razones trigonométricas: definición de cotangente

Estas razones trigonométricas adicionales se utilizan en problemas y cálculos más avanzados y son útiles en diversas aplicaciones prácticas.

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Ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos de razones trigonométricas

¡Es hora de poner en práctica lo que has aprendido sobre razones trigonométricas! En esta sección, te proporcionaremos ejemplos resueltos para que puedas ver cómo aplicar estos conceptos en problemas reales.

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 1

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 30 grados y un cateto contiguo de longitud 4 cm, encuentra la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa.

Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 1

Primero, calculamos el seno y el coseno del ángulo de 30 grados:

Razones trigonométricas: definición del seno de 30 grados

Razones trigonométricas: definición del coseno de 30 grados

Dado que conocemos el cateto contiguo (4 cm), podemos usar el coseno para encontrar la hipotenusa:
Razones trigonométricas: coseno de 30 grados

hipotenusa = \frac{4}{\cos 30^\circ}

como

Razones trigonométricas: el coseno de 30 grados es \frac{\sqrt{3}}{2} entonces

hipotenusa =\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

hipotenusa=\frac{\frac{4}{1}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

hipotenusa=\frac{4\cdot 2}{\sqrt{3}}

hipotenusa=\frac{8}{\sqrt{3}}

racionalizando

Razones trigonométricas: la hipotenusa vale ocho raíz de 3 entre 3

Ahora, podemos encontrar el cateto opuesto usando el seno:

sen 30^\circ =\frac{\mathrm{cateto\ opuesto} }{\mathrm{hipotenusa}}

cateto\ opuesto = sen\ 30^\circ \cdot \mathrm{hipotenusa}

Sustituyendo los valores:

Razones trigonométricas: el cateto opuesto mide 4 raíz de 3 entre 3

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 2
En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto mide 8 metros y la hipotenusa mide 10 metros. Encuentra el valor del seno del ángulo agudo.
Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 2

Para encontrar el seno del ángulo agudo, utilizamos las siguientes fórmulas:

Razones trigonométricas: el seno de alfa es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa el triángulo.

Dado que conocemos el cateto opuesto (8 metros) y la hipotenusa (10 metros), podemos calcular el seno y el coseno:

Razones trigonométricas: seno de alfa es 0,8

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 3
En un triángulo rectángulo, el cateto contiguo mide 12 cm y el cateto opuesto mide 5 cm. Encuentra el valor de la tangente del ángulo agudo.
Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 3

Para encontrar la tangente del ángulo agudo, utilizamos la siguiente fórmula:

Razones trigonométricas: la tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo

Dado que conocemos el cateto opuesto (5 cm) y el cateto contiguo (12 cm), podemos calcular la tangente:

Razones trigonométricas: tangente de alfa es  =\frac{5}{12}

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 4
En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto mide 6 cm y la tangente del ángulo agudo es 0,75. Encuentra la longitud del cateto contiguo.

 

Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 4

Dado que conocemos el cateto opuesto (6 pulgadas) y la tangente (0,75), podemos usar la fórmula de la tangente para encontrar el cateto contiguo:

Razones trigonométricas: tangete es cateto opuesto entre cateto contiguo

Sustituyendo los valores conocidos:

0,75=\frac{6}{\mathrm{cateto\ contiguo}}

Despejando el cateto contiguo:

\mathrm{cateto\ contiguo}=\frac{6}{0.75}=8\mathrm{\ cm}

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 5
En un triángulo rectángulo, el seno del ángulo agudo es 0,6 y la hipotenusa mide 15 cm. Encuentra la longitud del cateto opuesto.
Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 5

Dado que conocemos el seno (0,6) y la hipotenusa (15 cm), podemos usar la fórmula del seno para encontrar el cateto opuesto:

Razones trigonométricas: seno es cateto opuesto entre hipotenusa

Sustituyendo los valores conocidos:

0,6=\frac{\mathrm{cateto\ opuesto}}{15}

Despejando el cateto opuesto:

\mathrm{cateto\ opuesto}=0,6\cdot 15=9\ \text{cm}

 

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 6
En un triángulo rectángulo, el coseno del ángulo agudo es 0,8 y la hipotenusa mide 20 metros. Encuentra la longitud del cateto contiguo.
Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 6

Dado que conocemos el coseno (0,8) y la hipotenusa (20 metros), podemos usar la fórmula del coseno para encontrar el cateto contiguo:

Razones trigonométricas: el coseno se calcula dividiendo cateto contiguo o adyacente entre hipotenusa

Sustituyendo los valores conocidos:

0,8=\frac{\mathrm{cateto\ contiguo}}{20}

Resolviendo para el cateto contiguo:

\mathrm{cateto\ contiguo}=0,8\cdot 20=16\ \mathrm{m}

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 7
En un triángulo rectángulo, el cateto contiguo mide 10 cm y la cosecante del ángulo agudo es 2. Se sabe que la hipotenusa mide 15 cm. Encuentra la tangente.
Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 7

Dado que conocemos el cateto contiguo (10 cm) y la cosecante (2), podemos usar la fórmula de la cosecante para encontrar el cateto opuesto:

Razones trigonométricas: la cosecante es la inversa del seno del ángulo

Sabiendo que la

cosecante es 2, podemos encontrar el seno:

2=\frac{1}{sen{\alpha}}

despejamos el seno en la fórmula:

sen\ \alpha=\frac{1}{2}

Luego, podemos usar la fórmula del tangente:

sen\ \alpha=\frac{\mathrm{cateto\ opuesto}}{\mathrm{hipotenusa}}

Sustituyendo los valores conocidos:

\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{cateto\ opuesto} }{\mathrm{15}}

Despejamos el cateto opuesto:

\mathrm{cateto\ opuesto}=\frac{1}{2}\cdot 15=7,5\ \mathrm{cm}

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 8
En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto mide 3 m y la cotangente del ángulo agudo es 4. Encuentra la longitud del cateto contiguo.
Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 8

Dado que conocemos el cateto opuesto (3 m) y la cotangente (4), podemos usar la fórmula de la cotangente para encontrar el cateto contiguo:

Razones trigonométricas: la cotangente se calcula como la inversa de la tangente del ángulo

Sabiendo que la cotangente es 4, podemos encontrar la tangente:

4=\frac{1}{tg{\left(\alpha\right)}}

Resolviendo para la tangente:

tg\left(\alpha\right)=\frac{1}{4}

Luego, podemos usar la fórmula de la tangente para encontrar el cateto contiguo:

tg{\left(\alpha\right)}=\frac{\mathrm{cateto\ opuesto} }{\mathrm{cateto\ contiguo}}

Sustituyendo los valores conocidos:

\frac{1}{4}=\frac{3}{\mathrm{cateto\ contiguo}}

Despejamos el cateto contiguo haciendo el producto en curz:

\mathrm{cateto\ contiguo}=3\cdot 4=12 \mathrm{m}

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 9
En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto mide 9 m y el seno del ángulo agudo es 0,6. Encuentra la longitud de la hipotenusa.
Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 9

Dado que conocemos el cateto opuesto (9 m) y el seno (0,6), podemos usar la fórmula del seno para encontrar la hipotenusa:

Razones trigonométricas: el seno se calcula como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Sustituyendo los valores conocidos:

0,6=\frac{\mathrm{cateto\ opuesto}}{15}

Resolviendo para la hipotenusa:

\mathrm{hipotenusa}=\frac{9}{0,6}=15\ \text{m}

 

Ejercicio resuelto de razones trigonométricas 10
En un triángulo rectángulo, el cateto contiguo mide 6 cm y la secante del ángulo agudo es 2. Encuentra la longitud de la hipotenusa.
Solución ejercicio resuelto de razones trigonométricas 10

Dado que conocemos el cateto contiguo (6 pulgadas) y la secante (2), podemos usar la fórmula de la secante para encontrar la hipotenusa:

Razones trigonométricas: la secante se calcula como la inversa del coseno del ángulo

Sabiendo que la secante es 2, podemos encontrar el coseno:

2=\frac{1}{\cos{\left(\alpha\right)}}

Resolviendo para el coseno:

\cos{\left(\alpha\right)}=\frac{1}{2}

Luego, podemos usar la fórmula del coseno para encontrar la hipotenusa:

\cos{\left(\alpha\right)}=\frac{\mathrm{cateto\ contiguo} }{\mathrm{hipotenusa}}

Sustituyendo los valores conocidos:

\frac{1}{2}=\frac{6}{\mathrm{hipotenusa}}

Resolviendo para la hipotenusa:

\mathrm{hipotenusa}=6\cdot 2=12\ \text{cm}

Estos ejercicios resueltos de razones trigonométricas muestran cómo aplicar las razones trigonométricas en situaciones prácticas.

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Teorema de Pitágoras
Ejercicios resueltos Teorema de Pitágoras - Matemáticas
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👉 Razones trigonométricas del ángulo agudo. Definición, explicaciones y ejercicios resueltos. ✅ Incluye explicación en vídeo.
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