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Relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes

En este artículo sobre las relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos, profundizaremos en las relaciones especiales entre las razones trigonométricas de los ángulos notables como 30, 45 y 60 grados, explorando cómo estas relaciones se extienden a través de los diferentes cuadrantes de la circunferencia goniométrica. Analizaremos detalladamente las relaciones de las razones de los ángulos del primer cuadrante respecto de los otros cuadrantes, revelando patrones fundamentales en la trigonometría.

1. Relación entre Ángulos Complementarios (Primer Cuadrante)

En el primer cuadrante de la circunferencia unitaria, los ángulos complementarios suman 90 grados. Esto implica que, si consideramos dos ángulos complementarios A y B, donde \hat{A} + \hat{B} = 90^\circ, las razones trigonométricas de estos ángulos están relacionadas de la siguiente manera:

  • El seno de un ángulo complementario es igual al coseno del otro ángulo complementario, y viceversa.
  • \sin (90-\alpha)=\cos(\alpha)
  • \cos(90-\alpha)=\sin(\alpha)
  • La tangente de un ángulo complementario es igual al inverso de la tangente del otro ángulo complementario.
  • \tan(90-\alpha)=\cot(\alpha)

Relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos complementarios

En la imagen, podemos ver que el seno del ángulo alfa (en color rojo) coincide con el coseno del ángulo complementario (90-alfa). De forma similar, el coseno de alfa (en verde) coincide con el seno de 90 menos alfa (también en color verde).

Estas relaciones son fundamentales para simplificar cálculos trigonométricos y resolver problemas geométricos.

Ejemplos resuelto de relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos complementarios

Calcula las razones trigonométricas de B a partir de las del ángulo A sabiendo que los dos ángulos son complementarios (Dos ángulos complementarios suman 90 grados.) y que seno el ángulo A es tres quintos..

Solución ejemplo resuelto 1

Para resolver este problema, primero necesitamos recordar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios:

  1. El seno de un ángulo es el coseno de su complementario
  2. El coseno de un ángulo es el seno de su complementario.
  3. La tangente de un ángulo es la cotangente de su complementario.

Calcular el coseno B

Dado que \sin(A) = \frac{3}{5}, podemos usar la primera relación para encontrar \cos(B). Dado que \sin(A) = \frac{3}{5}, y A y B son ángulos complementarios, entonces Relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos complementarios

Calcular el seno de B

Para encontrar el el seno de B debemos calcular primero el coseno de A usando la identidad fundamental de la trigonometría.

Teorema fundamental de la trigonometría.

Sustituimos el seno de A que ya lo tenemos:

\left ( \frac{3}{5} \right )^2+ \cos^2 \hat{A} = 1

\cos^2(\hat{A}) = 1 - \frac{9}{25}

Restamos.

\cos^2(\hat{A}) = \frac{16}{25}

Hacemos la raíz cuadrada y nos quedamos con la solución positiva porque estamos en el primer cuadrante.

\cos(\hat{A}) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Usando la segunda relación,

Relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos complementarios

Calcular la tangente de B

Como la tangente de A es:

Relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos complementarios

podemos obtener la tangente de B mediante la tercera relación.

Relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos complementarios. Tangente y cotangente del complementario

2. Relación entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios (primer y segundo cuadrante)

Los ángulos en los cuadrantes primero y segundo son suplementarios, es decir, suman 180 grados. Esto implica que, si consideramos un ángulo en el primer cuadrante y su ángulo suplementario en el segundo cuadrante, las razones trigonométricas de estos ángulos tienen una relación especial:

  • El seno de un ángulo en el segundo cuadrante es igual al seno del ángulo suplementario en el primer cuadrante: Relación entre el seno de un ángulo del segundo cuadrante con los del primero - Ángulos suplementarios.
  • El coseno de un ángulo en el segundo cuadrante es igual al opuesto del coseno del ángulo suplementario en el primer cuadrante: Relación entre el coseno de un ángulo del segundo cuadrante con los del primero - Ángulos suplementarios.
  • La tangente de un ángulo en el segundo cuadrante es igual al opuesto de la tangente del ángulo en el primer cuadrante. Relación entre la tangente de un ángulo del segundo cuadrante con los del primero - Ángulos suplementarios.

Estas relaciones son útiles para resolver problemas que involucran ángulos suplementarios y simplificar expresiones trigonométricas.

Relación entre las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios (1er y 2º cuadrantes)

Ejemplos resuelto de relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos suplementarios

Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 150º a partir de las de su suplementario.

Solución ejemplo resuelto 2

Para resolver este problema, primero necesitamos calcular el suplementario del ángulo de 150º.

Suplementario = 180º – 150º = 30º

Como las razones trigonométricas del ángulo de 30º las conocemos, podemos escribirlas aquí.

  1. Seno de 30º
  2. Coseno de 30º
  3. Tangente de 30º

Calcular el seno del ángulo de 150º

Dado que 30º y 150º son suplementarios podemos utilizar la relación entre los senos de ambos ángulos:

Seno del ángulo de 150º relacionada con su suplementario 30º, es decir, el seno de 150 coincide con el seno de 30º que es un ángulo suplementario.

Calcular la coseno de 150º

De forma análoga usamos la relación entre los cosenos de los ángulos suplementarios para calcular el coseno de 150º.

Coseno del ángulo de 150º relacionada con su suplementario 30º

Calcular la tangente de 150º

Por último, calculamos la tangente del ángulo de 150º utilizando la relación entre las tangentes de los ángulos suplementarios.

Tangente del ángulo de 150º relacionada con su suplementario 30º

3. Relación entre ángulos que se diferencian en 180º (primer y tercer cuadrantes)

En los cuadrantes primero y tercero, los ángulos tienen una diferencia de 180 grados. Si consideramos un ángulo en el primer cuadrante y su diferencia de 180 grados en el tercer cuadrante, las razones trigonométricas de estos ángulos tienen la siguiente relación:

  • El seno de un ángulo en el tercer cuadrante es igual al opuesto del seno del ángulo en el primer cuadrante. \sin (180^\circ+\alpha)=-\sin (\alpha)
  • El coseno de un ángulo en el tercer cuadrante es igual al opuesto del coseno del ángulo en el primer cuadrante. \cos (180^\circ+\alpha)=-\cos (\alpha)
  • La tangente de un ángulo en el tercer cuadrante es igual a la tangente del ángulo en el primer cuadrante. \tan (180^\circ+\alpha)=\tan (\alpha)

Estas relaciones son muy importantes para calcular directamente algunos ángulos notables del tercer cuadrante (210º, 225º y 240º) relacionándolos con los ángulos notables del primer cuadrante (30º, 45º y 60º). De este modo, si nos sabemos de memoria las razones trigonométricas de los ángulos del cuadrante primero, podremos deducir rápidamente sus correspondientes ángulos del tercer cuadrante que se diferencian todos ellos en 180º.

Relación entre las razones trigonométricas de los ángulos que se diferencian en 180º - Primer y tercer cuadrante

Ejemplos resuelto de relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos que se diferencian en 180º

Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 240º a partir de las razones trigonométricas del ángulo con el que se diferencia en 180º.

Solución ejemplo resuelto 3

Para resolver este problema, primero necesitamos calcular el ángulo con el que 240º se diferencia en 180º.

Ángulo = 240º-180º = 60º

Como las razones trigonométricas del ángulo alfa de 60º las conocemos, podemos escribirlas aquí.

  1. Seno del ángulo de 60º
  2. Coseno del ángulo de 60º
  3. \tan{\alpha}=\sqrt{3}

Calcular el seno del ángulo de 240º

Dado que 60º y 240º se diferencian en 180º podemos utilizar la relación entre los senos de ambos ángulos:

Seno de los ángulos que se diferencian en 180 grados. Relación entre las razones trigonométricas., es decir, el seno de 240 coincide con el opuesto del seno de 60º que es el ángulo del que se diferencia en 180º.

Calcular la coseno de 240º

De forma análoga usamos la relación entre los cosenos de los ángulos que se diferencian en 180º para calcular el coseno de 240º.

Coseno de los ángulos que se diferencian en 180 grados. Relación entre las razones trigonométricas.

Calcular la tangente de 240º

Por último, calculamos la tangente del ángulo de 240º utilizando la relación entre las tangentes de los ángulos que se diferencian en 180º.

Tangente de los ángulos que se diferencian en 180 grados. Relación entre las razones trigonométricas.

 

4. Relación entre las razones trigonométricas de ángulos en cuadrantes 1 y 4 y ángulos negativos

En el cuarto cuadrante, los ángulos negativos tienen una relación especial con los ángulos en el primer cuadrante. Si consideramos un ángulo negativo en el cuarto cuadrante y su equivalente positivo en el primer cuadrante, las razones trigonométricas de estos ángulos están relacionadas de la siguiente manera:

  • El seno de un ángulo negativo es igual al opuesto del seno del ángulo correspondiente en el primer cuadrante. \sin (360^\circ-\alpha)=\sin (-\alpha)=-\sin (\alpha)=
  • El coseno de un ángulo negativo es igual al coseno del ángulo correspondiente en el primer cuadrante. \cos (360^\circ-\alpha)=\cos (-\alpha)=\cos (\alpha)=
  • La tangente de un ángulo negativo es igual al opuesto de la tangente del ángulo correspondiente en el primer cuadrante. \tan (360^\circ-\alpha)=\tan (-\alpha)=-\tan (\alpha)=

Estas relaciones son cruciales para comprender cómo las razones trigonométricas se comportan en diferentes cuadrantes y simplificar cálculos involucrando ángulos negativos.

Razones trigonométricas de los ángulos del 4 cuadrante y ángulos negativos

Ejemplo resuelto de relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos negativos

Calcula las razones trigonométricas del ángulo de -45º a partir de las razones trigonométricas del ángulo que le corresponde del primer cuadrante.

Solución ejemplo resuelto 3

La solución de este problema es igual para el ángulo de -45º que para el ángulo (360º-45º) = 315º que le corresponde en el cuarto cuadrante.

Como las razones trigonométricas del ángulo alfa de 45º las conocemos, podemos escribirlas aquí

  • Seno del ángulo de 45º
  • Coseno del ángulo de 45º
  • Tangente del ángulo de 45º

Calcular el seno del ángulo de -45º

Dado que -45º y 45º son ángulos opuestos, podemos utilizar la relación entre los senos de ambos ángulos:

Seno del ángulo de -45 grados relacionada con el seno de 315º del cuarto cuadrante y el seno de 45 del primer cuadrante., es decir, el seno de -45º coincide con el opuesto del seno de 45º.

Calcular la coseno de -45º

De forma análoga usamos la relación entre los cosenos de los ángulos opuestos para calcular el coseno de -45º.

Coseno del ángulo de -45 grados relacionada con el coseno de 315º del cuarto cuadrante y el coseno de 45 del primer cuadrante.

Calcular la tangente de -45º

Por último, calculamos la tangente del ángulo de -45º utilizando la relación entre las tangentes de los ángulos negativos.

Tangente del ángulo de -45 grados relacionada con la tangente de 315º del cuarto cuadrante y la tangente de 45 del primer cuadrante.

 

5. Razones Trigonométricas de los ángulos mayores de 360 grados

En el estudio de la trigonometría, a menudo nos encontramos con ángulos que superan los 360 grados. Estos ángulos, aunque pueden parecer difíciles de entender al principio, en realidad comparten muchas características con los ángulos menores que 360º. En este artículo, exploraremos las razones trigonométricas de los ángulos mayores de 360 grados y cómo se relacionan con los ángulos del primer cuadrante.

Los ángulos que superan los 360 grados se diferencian de los ángulos menores en un número entero de vueltas completas. A pesar de su magnitud, estos ángulos mantienen las mismas razones trigonométricas que sus correspondientes ángulos menores que 360º. Esto se debe a la periodicidad de las funciones trigonométricas.

En términos matemáticos, si tenemos un ángulo \theta > 360^\circ , podemos expresarlo como \theta = \theta' + 360n, donde \theta' es el ángulo correspondiente en el primer cuadrante y n es el número de vueltas completas. Esta notación nos permite trabajar con ángulos grandes de una manera más manejable.

A continuación, analizaremos cómo las razones trigonométricas seno (\sin), coseno y tangente se comportan para estos ángulos y proporcionaremos un ejemplo práctico para ilustrar estos conceptos.

Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para ángulos mayores de 360 grados cumplen las siguientes relaciones:

  • Seno: \sin(\theta + 360n) = \sin(\theta)
  • Coseno: \cos(\theta + 360n) = \cos(\theta)
  • Tangente: \tan(\theta + 360n) = \tan(\theta)

donde \theta es el ángulo en grados y n es cualquier número entero.

 

Ejemplos resuelto de relaciones de las razones trigonométricas entre ángulos mayores que 360º

Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 420º a partir de las razones trigonométricas del ángulo menor de 360º que le corresponde.

Solución ejemplo resuelto 5

Consideremos el ángulo positivo de 420 grados. Este ángulo es equivalente a un ángulo de 60 grados más una vuelta completa (360^\circ), es decir, 420^\circ = 60^\circ + 360^\circ.

Sabemos que para un ángulo de 60 grados se cumple que

  • \sin(60^\circ) =\frac{\sqrt{3}}{2}
  • \cos(60^\circ) =\frac{1}{2}
  • \tan(60^\circ) = \sqrt{3}

Aplicando las fórmulas para ángulos mayores de 360 grados, obtenemos:

  • \sin(420^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
  • \cos(420^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}
  • \tan(420^\circ) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}

Ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 1

Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: \sin(300^\circ)

Solución ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 1

Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: Seno de 300 grados

El ángulo Seno de 300 grados está en el cuarto cuadrante ya que Ángulos del 4º cuadrante

Por tanto, Seno de un ángulo del 4º cuadrante relacionado con el del primer cuadrante sustituyendo el ángulo por 300º:

Relación entre el seno de 300 y el seno de 60

Ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 2

Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: \cos(-330^\circ)

Solución ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 2

Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: Coseno de -330º

El ángulo \alpha = -330^\circ se encuentra en el primer cuadrante, ya que 360º-330º = 30º.

Por tanto, Coseno del ángulo negativo relacionado con el del primer cuadrante. sustituyendo el ángulo por -330º:

Coseno de -330º relacionado con el coseno de 60º

Ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 3

Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: \tan(-480^\circ)

Solución ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 3

Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: Tangente de -480º

El ángulo \alpha = -480^\circ se encuentra en el tercer cuadrante, ya que 360º-480º = -120º que si le sumamos 360º da -120º+360º = 240º. Esto quiere decir que el ángulo de -480º tiene las razones trigonométricas como el ángulo de 240º que es del tercer cuadrante.

Por tanto, Las tangentes de los ángulos del tercer cuadrante son iguales que sus correspondientes restándoles 180º del primer cuadrante. sustituyendo el ángulo por 240º:

\tan(-480) = \tan(240)=\tan(180+60) = \tan(60) = \sqrt{3}

Recuerda que las tangentes del tercer cuadrante son iguales de que las del primero.

Ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 4

Calcula las razones trigonométricas del seno de 120º.

Solución ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 4

Calcula la razón trigonométrica seno de 120º.

El ángulo de 120º se encuentra en el segundo cuadrante, ya que 90^\circ < \alpha < 180^\circ

Por tanto, \sin (180-\alpha)=\sin(\alpha) sustituyendo el ángulo por 120º:

\sin(120) = \sin(180-60)=\sin(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Recuerda que el seno de un ángulo y su suplementario son iguales.

Ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los 4 cuadrantes 5

Calcula las razones trigonométricas del seno de -60º.

Solución ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos negativos 5

Calcula la razón trigonométrica seno de -60º.

El ángulo de -60º se encuentra en el cuarto cuadrante, ya que -60^\circ+360^\circ = 300^\circ y 270^\circ < \alpha < 360^\circ

Por tanto, Seno de un ángulo negativo relacionado con el seno de su ángulo opuesto sustituyendo el ángulo por -60º:

El seno de -60 es el opuesto del seno de 60º

Recuerda que el seno de un ángulo del cuarto cuadrante es el opuesto de su correspondiente en el primer cuadrante.

Ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos mayores de 360º

Calcula la razón trigonométrica seno de 510º.

Solución ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos mayores que 360º

Calcula la razón trigonométrica seno de 510º.

El ángulo de 510º se encuentra en el segundo cuadrante, ya que \alpha = 510^\circ-360^\circ = 150^\circ y 90^\circ < \alpha < 180^\circ

Por tanto, \sin (180-\alpha)=\sin(\alpha) sustituyendo el ángulo por 150º:

\sin(510) = \sin(510-360)=\sin(150) = \sin(180-30) = \sin(30) = \frac{1}{2}

Recuerda que el seno de un ángulo y su suplementario son iguales.

Ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos del tercer cuadrante

Calcula la razón trigonométrica coseno de 225º.

Solución ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos del tercer cuadrante

Calcula la razón trigonométrica coseno de 225º.

El ángulo de \alpha = 225^\circ se encuentra en el tercer cuadrante, ya que 180^\circ < \alpha < 270^\circ

Por tanto, \cos (180+\alpha)=-\cos(\alpha) sustituyendo el ángulo por 225:

\cos(225) = \cos(180+45)=-\cos(45) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

Recuerda que el coseno de dos ángulos que se diferencia en 180º son opuestos.

Ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos negativos

Calcula la razón trigonométrica coseno de -150º.

Solución ejercicio resuelto de relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos negativos

Calcula la razón trigonométrica coseno de -150º.

Como Coseno de un ángulo negativo es igual al coseno de su ángulo con signo opuesto., por tanto, el coseno de -150º se puede calcular a partir del coseno de 150º. Éste se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que sustituyendo el ángulo por 150:

Coseno de -150º en función del coseno de 150 y el coseno de 30

Recuerda que el coseno de un ángulos negativo es igual que el coseno de su ángulo opuesto.

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Razones trigonométricas, teoría y ejercicios resueltos
Razones trigonométricas de los ángulos notables 30º, 45º y 60º
Resumen
▷ Identidades trigonométricas
Nombre del artículo
▷ Identidades trigonométricas
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📐 Explora las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos en los 4 cuadrantes de la circunferencia unitaria. Descubre cómo calcular las razones de otros ángulos a partir de los ángulos notables, simplificando cálculos y resolviendo problemas trigonométricos con eficacia. Por último, veremos las razones trigonométricas de los ángulos negativos y los mayores de 360º✨
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