¿Qué es un sistema de ecuaciones no lineal?

Este término de sistemas de ecuaciones no lineales se refiere a aquellos sistemas que tienen alguna de sus ecuaciones formada por polinomios de grado 2 o superior. Por el contrario, los sistemas lineales están formados por ecuaciones de grado 1.

Número de soluciones los sistemas de ecuaciones no lineales

Hasta ahora, hemos estado trabajando con sistemas de ecuaciones lineales (de primer grado). La solución de estos sistemas es el punto donde se cortan todas las líneas rectas formadas por el conjunto de soluciones de cada ecuación del sistema. Por tanto, estos sistemas sólo pueden tener una solución como máximo. Si alguna de las ecuaciones del sistema es de grado superior a 1, entonces nos enfrentaremos al reto de uno no lineal. En este caso, las posibilidades se multiplican. Siempre vamos a trabajar con un número de incógnitas igual a dos. Por ejemplo, una parábola (ecuaciones de grado 2) y una recta (ecuación de grado 1) puede que:

  1. No se corten en ningún punto, por lo que el sistema es incompatible (no tiene solución).
  2. Se corte en dos puntos y el sistema tenga dos soluciones. Se trata de un sistema compatible determinado.
  3. O que la recta sea tangente a la parábola y el sistema tenga como solución el punto que tienen en común. Se trata también de un sistema compatible determinado con una única solución.

Dependiendo del tipo de ecuaciones que formen los sistemas, tendremos un número de soluciones diferentes.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones no lineales.

No existe un camino universal que podamos seguir en todos los casos. Según nuestra experiencia, dependiendo del caso, será mejor un camino u otro dependiendo de ambas ecuaciones. Podemos aplicar diferentes métodos de resolución. A continuación te damos pistas sobre cuál es mejor en cada caso.

  • Si tenemos un término de alguna de las ecuaciones con una única incógnita de grado 1, lo mejor es despejar dicha incógnita y sustituir su valor en la otra ecuación. El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones del sistema y sustituir el valor despejado en la otra ecuación. Veamos un ejemplo:
  • Si tenemos que las dos ecuaciones son de grado 2, pero en una de ellas hay una incógnita de grado 1, despejamos la incógnita de grado 1 y sustituimos su valor en la otra ecuación.

 

  • Si tenemos dos ecuaciones de grado 2 y tenemos la misma incógnita elevada a dos sola en un término de las dos ecuaciones (en ambas ecuaciones), podemos aplicar el método de reducción. La idea es reducir el número de incógnitas y, entonces, resolvemos la ecuación con una sola incógnita que nos queda.

 

Como podéis comprobar, cada caso tiene su problemática. Pero sí que podemos intentar coger el camino más sencillo para no tener muchas complicaciones a la hora de resolver nuestros sistemas de ecuaciones.

¿Tienes alguna duda? Por favor, escribe un comentario aquí en el blog o en los comentarios de los vídeos y te responderemos lo antes posible.

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones no lineales

Vamos a realizar varios ejercicios resueltos mezclando ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado en el sistema.

Ejemplo resuelto 1: una ecuación de primer grado y otra de segundo grado

Vamos a resolver un sistema de ecuaciones no lineales donde una de las ecuaciones es de primer grado y la segunda ecuación es de segundo grado:

\begin{aligned}\begin{cases}x+2y=5\\ x^{2}+3xy=-8\end{cases}\\ \end{aligned}

Si observamos el par de ecuaciones, queda claro que es más sencillo despejar alguna de las dos incógnitas que están elevadas a uno y, de las dos posibilidades, la x es la mejor porque tiene coeficiente 1 y, al despejarla, no tendremos fracciones.

x=5-2y\\

Una vez despejada en la incógnita en la primera ecuación, sustituimos cada x de la segunda por la expresión algebraica obtenida.

\left( 5-2y\right) ^{2}+3\left( 5-2y\right) \cdot y=-8

Para simplificar esta expresión, usamos el cuadrado de una diferencia (expresiones notables) y aplicamos la distributiva para quitar el segundo paréntesis de la ecuación.

25-20y+4y^{2}+15y-6y^{2}=-8\\

Simplificamos los términos semejantes.

-2y^{2}-5y+33=0\\

Aunque no es obligatorio, multiplicamos la ecuación por menos uno para que el coeficiente principal sea positivo.

2y^{2}+5y-33=0\\

Despejamos la incógnita y con la expresión general de las ecuaciones de segundo grado completas.

y=\dfrac{-5\pm \sqrt{25-4\left( 2\right) \left( -33\right) }}{2\left( 2\right) }\\

Simplificamos primero el radicando de la raíz.

y=\dfrac{-5\pm \sqrt{25+264}}{4}\\ y=\dfrac{-5\pm \sqrt{289}}{4}\\

Como la raíz tiene dos soluciones, tenemos que tener en cuenta las dos posibilidades.

y=\dfrac{-5\pm 17}{4}\Rightarrow \begin{cases}y_{1}=\dfrac{-5+17}{y}\Rightarrow y_{1}=\dfrac{12}{y}\Rightarrow y_{1}=3\\ y_{2}=\dfrac{-5-17}{4}\Rightarrow y2=\dfrac{-22}{4}\Rightarrow y_{2}=-\dfrac{11}{2}\end{cases}\\

Una vez que tenemos los dos valores de la incógnita y, podemos volver a la expresión donde habíamos despejado x para calcularla.

y_{1}=3\Rightarrow x_{1}=5-2\left( 3\right) \Rightarrow x_{1}=5-6\Rightarrow x_{1}=-1\Rightarrow \left( -1,3\right) \\ y_{2}=-\dfrac{11}{2}\Rightarrow x_{2}=5-2\left( -\dfrac{11}{2}\right) \Rightarrow x_{2}=5+11\Rightarrow x_{2}=16\Rightarrow \left( 16,-\dfrac{11}{2}\right)

En la imagen, puedes ver la representación gráfica de las dos soluciones del sistema, representadas por los puntos A y B. En verde, puedes ver ecuación de primer grado cuya gráfica es, obviamente, una recta.

Representación gráficas de las soluciones de un sistema no lineal con una ecuación de segundo grado

Ejemplo resuelto 2: dos ecuaciones de segundo grado

Si las dos ecuaciones tienen una o las dos incógnitas elevadas al cuadrado, lo mejor será aplicar el método de reducción justo por esa incógnita.

Sistema de ecuaciones no lineales de segundo grado

En este ejemplo de sistema de segundo grado, vamos a reducir por la incógnita x. Sumamos las dos ecuaciones ya que tienen coeficientes opuestos y, al sumarlas, se anulan.

\begin{aligned}\begin{cases}{\color{Red} -x^{2}}+y^{2}=-21\\ {\color{Red} x^{2}}+y^{2}=29\end{cases}\\ \end{aligned}

\begin{aligned}2y^{2}=8\\ \end{aligned}

Despejamos la incógnita y dividiendo los dos miembros de la ecuación entre 2.

\frac{y^2}{2}=\frac{8}{2}

y^2=4

Hacemos la raíz cuadrada en los dos miembros para despejar la incógnita.

\begin{aligned} y=\sqrt{4}\Rightarrow \begin{cases}y_{1}=+2\\ y_{2}=-2\end{cases}\\ \end{aligned}

Con lo que obtenemos dos soluciones para y. Esto hace que debamos calcular el valor de x para cada una de ellas. Comencemos.

\begin{aligned} y_{1}=+2\Rightarrow x^{2}+\left( +2\right) ^{2}=29= >x^{2}+4=29\Rightarrow x^{2}=25\Rightarrow x=\sqrt{25}\Rightarrow \begin{cases}x_{1}=+5\\ x_{2}=-5\end{cases}\\ \end{aligned}

Tenemos ya las dos primeras soluciones del sistema de segundo grado: (5,2) y (-5,2)

Ahora, resolvemos x con el segundo valor de y.

\begin{aligned} y_{2}=5\Rightarrow x^{2}+5^{2}=29\Rightarrow x^{2}+25=29\Rightarrow x^{2}=4= >x=\sqrt{4}\Rightarrow \begin{cases}x_{1}=+2\\ x_{2}=-2\end{cases}\end{aligned}

Con lo que obtenemos otras dos nuevas soluciones al sistema: (2,5) y (-2,5)

La representación gráfica de las 4 soluciones de este ejemplo resuelto es la que se muestra en esta imagen.

Sistema de ecuaciones no lineales de segundo grado - Representación gráfica

Como se puede observar en la imagen, los dos gráficas de que corresponden a las dos ecuaciones se cruzan en 4 puntos por lo que el sistema no lineal tiene 4 soluciones representadas en color rojo.

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Resumen
Sistemas de ecuaciones no lineales
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Sistemas de ecuaciones no lineales
Descripción
En este artículo te enseñamos cómo resolver sistemas de ecuaciones no lineales (grado 2 o superior) por distintos métodos de resolución. Se incluyen ejercicios resueltos de vídeos explicados paso a paso.
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