T05 - El lenguaje algebraico. - Lecciones de Mates

Introducción

Mediante las Matemáticas podemos representar de forma sencilla realidades del mundo. Hasta ahora, hemos representado cosas concretas como “el doble de tres” de esta forma $2\cdot 3$ . Sin embargo, si queremos representar que vamos a subir el sueldo de nuestros empleados al doble, como cada empleado tiene un sueldo distinto, necesitamos poder expresar este tipo de expresiones abstractas sin tener que concretar el sueldo de cada uno de ellos. El Álgebra soluciona este problema empleando letras junto a los números. Así, “el doble del sueldo de los empleados” se puede escribir como $2\cdot x$ donde x representa el sueldo de cada empleado en particular. Es el lenguaje algebraico.

Definición

Podemos definir el lenguaje algebraico de la siguiente forma:

El lenguaje algebraico utiliza números, letras y símbolos matemáticos para expresar realidades del mundo.

Frases escritas: expresiones algebraicas

Una expresión algebraica utiliza números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicaicón y división) y potencias. Las letras se denominan varaibles o incógnitas.

Veamos un ejemplo: $\displaystyle 3ab^2 + 2a^2b - \frac{1}{3}ab$

En esta tabla, podemos ver algunas expresiones escritas en lenguaje natural (castellano) y su expresión algebraica equivalente:

Lenguaje natural	Lenguaje algebraico
El triple de un número	$\displaystyle 3\cdot x; 3x$
La mitad de un número	$\displaystyle \frac{n}{2}$ o $\displaystyle \frac{1}{2}n$
Sumar 9 a un número	$\displaystyle (x+9)$
Dividir un número por 6	$\displaystyle \frac{x}{6}$ o $\displaystyle \frac{1}{6}x$
La diferencia entre un número y 12	$\displaystyle (x-12)$
Tres veces un número menos 10	$\displaystyle (3x-10)$
Un número par	$\displaystyle 2x$
Un número impar	$\displaystyle (2x+1)$
Dos números consecutivos	$\displaystyle x, (x+1)$
Dos números pares consecutivos	$\displaystyle 2x, (2x+2)$
La suma de dos números impares consecutivos	$\displaystyle (2x+1) + (2x+3)$
El doble de un número menos 18	$\displaystyle (2x-18)$
Un número aumentado en su tercera parte	$\displaystyle \left(x+\frac x3\right)$
Cuatro veces un número más su mitad	$\displaystyle \left(4x+\frac x2\right)$
Dos números cuya suma sea trece	$\displaystyle x, (13-x)$
Dos números cuya diferencia es 5	$\displaystyle x, (x-5)$
Una persona tiene hoy x años, ¿cuántos tendrá dentro de 5 años?	$\displaystyle (x+5)$
Una persona tiene x años, ¿cuántos tenía hace 6?	$\displaystyle (x-6)$

Puedes ver más ejemplos de expresiones en lenguaje algebraico en este enlace.

Valor numérico de una expresión algebraica.

Si, en una expresión algebraica, sustituimos las letras por unos números determinados y hacemos las operaciones obtenemos el valor numérico de dicha expresión algebraica para esos valores de las letras:

Por ejemplo, podemos calcular el valor numérico de la siguiente expresión algebraica:

$\displaystyle 3ab^2 + 2a^2b - \frac{1}{3}ab$

cuando $a=3$ y $b=-1$

Sustituimos las letras por los valores:

$\displaystyle 3(3)(-1)^2 + 2(3)^2(-1) - \frac{1}{3}(3)(-1)$

Y hacemos los cálculos indicados:

$\displaystyle 3(3)(+1)+ 2(9)(-1) - (-1)=$

$\displaystyle 9 + (-18) + (+1)=$

$\displaystyle \boxed{-8}$

En esta entrada del blog, podrás practicas más ejercicios resueltos de valor numérico de una expresión algebraica.

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número por una serie de letras elevadas a exponentes naturales (no pueden ser negativos).

El número que multiplica se llama coeficiente.
Las letras y sus exponentes se llaman parte literal.

De este modo, en la expresión $\displaystyle 3ab^2$ tenemos:

Coeficiente: $\displaystyle 3$
Parte literal: $\displaystyle ab^2$

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variales (o letras).

De este modo, en el monomio anterior, el grado sería 3, ya que la a está elevada a 1 y la b a dos. Al sumar, 1+2, obtenemos 3.

A tener en cuenta:

Cuando el coeficiente es 1, no se escribe. $\displaystyle 1x^3$ se escribe realmente como $\displaystyle x^3$
Si un monomio no tiene parte literal, se dice que su grado es 0. Es un monomio cuyo valor no depende de las letras.

Cómo sumar monomios

Para sumar dos monomios deben tener la misma parte literal (se dice que son monomios semejantes). Para ello, sumamos sus coeficientes y dejamos la misma parte literal.

Por ejemplo,

$\displaystyle 3xy^2 + 2xy^2 = (3+2)xy^2 = 5xy^2$

Si los monomios no son semejantes, la suma se deja indicada:

$\displaystyle 3xy^2 + 2x^2y =$ se deja igual porque no podemos simplificar la expresión.

Para restar monomios, procedemos de forma análoga, sólo que, en lugar de sumar, restamos los coeficientes:

$\displaystyle ab - 3ab = (1-3)ab = -2ab$

Cómo multiplicar monomios

Para multiplicar dos monomios, se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales en ellas.

Hagamos un ejemplo para que quede más claro:

$\displaystyle (+3x) \cdot (-2xy^3) =$

Multiplicamos los coeficientes:

$\displaystyle (+3)\cdot (-2) =-6$

Y, por otro lado, las partes literales:

$\displaystyle x\cdot xy^3 =x^2y^3$

Como todas las letras van multiplicando, resolvemos las que tienen la misma letra (base) sumando sus exponentes.

Recuerda: el producto de dos potencias con la misma base se resuelve dejando la base y sumando los exponentes.

Por tanto,

$\displaystyle (+3x)\cdot (-2xy^3) = -6x^2y^3$

Polinomios

Un polinomio es la suma (o diferencia) de dos o más monomios no semejantes.

Lo de no semejantes es un requisito porque si sumas dos monomios semajantes, se podrían sumar efectivamente y, entonces, quedar un único monomio con lo que no sería un polinomio.

Expresión	¿Es un polinomio?
$\displaystyle 2x+3y$
$\displaystyle 2x+3x$
$\displaystyle x^2+x$
$\displaystyle x$

Simplificar un polinomio

Para simplificar un polinomio vamos a agrupar todos los monomios que sean semejantes. Vemos un ejemplo:

$\displaystyle x^3+x^2-x-6+3+x-x^2-3x^3+x^2-6x-1$

Se trata de una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios. Cada uno de ellos es un término del polinomio. Unos son semejantes y otros no. Para simplificarlo, vamos a sumar los que sí sean semejantes.

Para ser ordenados, vamos a empezar por los que tengan el grado mayor. En este caso, tenemos dos monomios de grado 3: el lenguaje algebraico

$\displaystyle \underline{x^3}+x^2-x-6+3+x-x^2\underline{-3x^3}+2x^2-6x-1$

Al sumarlos, obtenemos

$\displaystyle -2x^3$

por lo que, provisionalmente, el resultado es: $\displaystyle \boxed{-2x^3}$

Continuamos con los monomios de grado 2. Vamos a subrayarlos: el lenguaje algebraico

$\displaystyle x^3\underline{+x^2}-x-6+3+x\underline{-x^2}-3x^3\underline{+2x^2}-6x-1$

Si simplificamos los 3 monomios de grado 2, se obtiene $\displaystyle 2x^2$

El resultado provisional es: $\displaystyle \boxed{-2x^3 + 2x^2}$

Continuamos con los monomios de grado 1, es decir, en los que aparece la incógnita sin exponente (realmente el exponente es 1, pero no se escribe): el lenguaje algebraico

$\displaystyle x^3+x^2\underline{-x}-6+3\underline{+x}-x^2-3x^3+2x^2\underline{-6x}-1$

Si sumamos estos tres monomios, se obtiene $\displaystyle -6x$ . Lo añadimos al resultado provisional:

$\displaystyle \boxed{-2x^3 + 2x^2-6x}$

Por último, sumamos los monomios que no tienen letras (los de grado 0 también llamados independientes): el lenguaje algebraico

$\displaystyle x^3+x^2-x\underline{-6}\underline{+3}+x-x^2-3x^3+2x^2-6x\underline{-1}$

y obtenemos $\displaystyle -4$

Si lo añadimos al resultado obtenemos el siguiente polinomio:

$\displaystyle \boxed{-2x^3 + 2x^2-6x-4}$

Dicho resultado es un polinomio que está simplificado y ordenado por los grados de sus términos de forma descendente.

El lenguaje algebraico – Tema 5 – Apuntes de Matemáticas de 1º de ESO

T05 – El lenguaje algebraico.

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Definición

Frases escritas: expresiones algebraicas

Valor numérico de una expresión algebraica.