Ecuaciones de primer grado

Una igualdad numérica consiste en dos expresiones numéricas que tienen el mismo valor, aunque se escriban diferente:

Son expresiones numéricas escritas de diferente forma, pero que realmente tienen el mismo valor.

Las hemos usado mucho cada vez que dábamos un paso para ir resolviendo cálculos de números naturales, enteros o fracciones.

Una identidad algebraica es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor de las variables de la expresión.

Estas igualdades anteriores son verdad siempre, independientemente de lo que valgan las letras (variables).

Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solamente para algunos valores de las letras (llamadas incógnitas). Estos valores que sí cumplen la igualdad son son las soluciones de la ecuación.

El grado de una ecuación es el mayor grado de los términos que la forman. En las ecuaciones de primer grado, la incógnita está elevada a la unidad.

• Para comprobar que un número es la solución de una ecuación, podemos calcular el valor numérico de cada miembro y comprobar si son iguales. Ejemplo:

Compruba si 3 y -2 son las soluciones de la ecuación anterior:

a) Sustituimos la incógnita por su valor

Por lo tanto, 3 sí es solución de la ecuación.

b) Sustituimos la incógnita por su valor

$x=–2$

Por tanto, -2 no es solución de la ecuación.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Existen dos reglas que nos permiten calcular ecuaciones equivalentes a una dada:

Si multiplicamos o dividimos una ecuación por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

​

podemos dividir entre 3 para encontrar la solución

Y, simplificando,

El primer paso para resolver ecuaciones de primer grado consiste en eliminar los paréntesis que pueda tener. Vamos a ver varios casos:

Si delante hay una suma (+)

Entonces podemos quitar los paréntesis dejando los términos que haya dentro de la ecuación con el signo que tenían.

quedaría:

es decir, dejamos los términos de dentro de los paréntesis con el signo que tenían. El primer 2x, al ser el primero y no tener signo se entiende que es positivo.

Si delante hay una resta (-)

Entonces, podemos eliminar los paréntesis, pero tenemos que cambiar el signo de todos los términos que haya dentro del paréntesis.

Ejemplo:

Aplicando la propiedad distributiva quedaría:

quitamos los signos negativos de delante de cada paréntesis poniendo los opuestos de los términos que hay dentro:

Si delante o detrás hay una multiplicación (·)

Entonces, tendremos que aplicar la propiedad distributiva para eliminar dichos paréntesis y simplificar así la ecuación a la que nos estamos enfrentando.

Ejemplo:

Aplicando la propiedad distributiva quedaría:

Puedes leer más sobre este tema y practicar con ejercicios resueltos de ecuaciones en esta entrada del blog.

Como las operaciones con fracciones son más complicadas que con números enteros, nos interesa quitar las fracciones antes de continuar resolviendo nuestra ecuación. Para ello, te recomiendo hacer los siguientes pasos.

1. Pon 1 de denominador a los términos que no sean fracciones.
2. Pon entre paréntesis los numeradores que sean complejos (más de un término)
3. Calcula el mcm de los denominadores de la ecuación.
4. Multiplica la ecuación por dicho mcm.
5. Simplifica todas las fracciones.

Es mucho más sencillo hacernos una idea si vemos un ejemplo resuelto paso a paso.

Vamos a preparar la ecuación. Para ello, ponemos entre paréntesis los numeradores que tienen más de un término y convertiremos en fracciones los términos que no lo son:

Ahora calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el mcm que hemos calculado. Esto es posible gracias a la regla del producto.

Normalmente, el paso anterior nos los saltamos y aplicamos la distributiva directamente:

Por último, simplificamos las fracciones. Como 6 es múltiplo de 3 y de 6, las divisiones marcadas en rojo son exactas y se irán los denominadores:

Simplificando:

Ya hemos conseguido nuestro objetivo: tenemos una ecuación equivalente a la dada, pero sin los molestos denominadores.

 Este punto es más sencillo que los dos anteriores. Vamos a buscar los términos que sean semejantes y vamos a simplificarlos.

Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal

Veamos un ejemplo:

​

Agrupamos en cada miembro los términos semejantes del mismo color.

Simplificamos los términos semejantes:

La ecuación que nos queda es equivalente a la primera, pero más sencilla. Este paso se puede realizar las veces que haga falta.

Regla de la suma

Recuerda: la regla de la suma dice que si sumamos o restamos la misma expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la primera, es decir, tiene las mismas soluciones.

Lo que pretendemos es dejar en un lado de la ecuación todos los términos que tengan la incógnita (los que son de grado 1) y en el otro los que no tengan la incógnita (los términos independientes).

Para ello, vamos a ir sumando o restando los opuestos de los términos que queramos cambiar de lado (algunos lo llaman transposición de términos)

Ejemplo:

Vamos a intentar dejar los términos con la incógnita a la izquierda y los términos independientes (sin incógnita) a la derecha. Observamos y vemos que +4 está mal situado.

Para eliminarlo de ahí, restamos 4 en los dos miembros de la ecuación:

Y simplificamos los términos semejantes:

Ahora, nos damos cuenta de que en el miembro de la derecha está mal colocado el término x.

Para quitarlo de ahí, restamos su opuesto:

y, de nuevo, simplificamos términos semejantes.

Regla del producto

Recuerda: la regla del producto dice que si dividimos o multiplicamos los dos miembros de una ecuación por una expresión algebraica distinta de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

En este último paso, pretendemos eliminar el coeficiente que puede acompañar a la incógnita. Vemos un ejemplo:

​

donde queremos quitar el 5 que multiplica a la incógnita.

Para ello, dividimos entre 5 gracias a la regla del producto.

Simplificamos las fracciones, llegamos al resultado final de la ecuación:

Paso 1:

Vamos a escribir los datos del problema y a identificar quién será la incógnita, es decir, el valor que resuelve el problema.

Paso 2:

Planteamos la ecuación, es decir, escribimos una ecuación que resuelve nuestro problema. Para ello, suele ser interesante escribir primero una igualdad escrita en un lenguaje medio matemático, medio español y, después, en un segundo momento, escribir una ecuación en lenguaje algebaico

Paso 3:

Resolvemos la ecuación que hemos planteado en el paso anterior.

Paso 4:

Comprobamos la solución del problema, ya que no siempre corresponde directamente con la solución de la ecuación.