Proporcionalidad
Porcentajes
SUMARIO
Proporciones y porcentajes
El tema de proporciones y porcentajes está muy relacionado con las fracciones y con las funciones.
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¿Dudas/sugenrecias?
01.
Razón y proporciones.
02.
Magnitudes directamente proporcionales.
03.
Porcentajes y variaciones porcentuales.
Proporciones y porcentajes
Índice
Razón
Una razón es una relación entre dos magnitudes que se puede expresar:
- en forma de división a:b
- como fracción
y que se lee “a es a b“
Por ejemplo, cuando hablamos de pantallas de televisión, podemos decir que la razón entre su ancho y su alto es 16:9 de forma que indicamos que por cada 16 cm de ancho, la televisión tendrá 9 cm de alto.
Proporción
Una proporción es la igualdad entre dos razones. Por ejemplo,
Indica que en una pantalla de relación 16:9 si el ancho es de 200 cm, el alto debería ser de 112,5 cm para conservar la relación de aspecto correctamente.
En una proporción
encontramos 4 términos: a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios. Esto es así porque al leer la proporción “a es a b como c es a d”, los términos a y d están en los extremos de la frase y los términos b y c están en medio.
Propiedad fundamental de las proporciones
Para comprobar si dos razones forman una proporción utilizamos la propiedad fundamental de las proporciones.
Si dos razones forman una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Si en una proporción conocemos tres de los cuatro términos podemos calcular el cuarto aplicando la propiedad anterior.
Ejemplo 1
Como la igualdad es cierta, las dos razones sí forman una proporción.
Ejemplo 2
Luego no forman una proporción.
Magnitudes directamente proporcionales
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede pesar, medir, contar… .
Definición
Número entradas cine | 1 | 2 | 3 | … |
Precio | 6€ | 12€ | 18€ | … |
donde r es la razón de proporcionalidad o constante de proporcionalidad.
Los problemas de proporcionalidad directa se pueden resolver mediante la proporciones, reducción a la unidad o la regla de tres simple.
Proporciones
En una receta de un bizcocho, hay que echar 2 huevos para cada 5 personas. ¿Cuántos huevos serán necesarios para hacer un bizcocho para 8 personas?
Planteamos la proporción con los 3 términos que conocemos y aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones para obtener el término que nos falta:
Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:
Simplificamos
y despejamos:
Reducción a la unidad
En una receta de un bizcocho, hay que echar 2 huevos para cada 5 personas. ¿Cuántos huevos serán necesarios para hacer un bizcocho para 8 personas?
Veremos primero cuántos huevos son necesarios para 1 persona (reducción a la unidad).
huevos por persona.
Luego, multiplicamos por el número de personas:
huevos
Repartos directamente proporcionales
Para repartir una cantidad N de forma directamente proporcional a a, b, c, .. se realizan los siguientes pasos:
- Se calcula la razón de proporcionalidad:
donde N es la cantidad a repartir.
- Se multiplica cada parte a, b, c, … , por r.
Ejemplo
David, Emma y Fran compran 10 móviles con un descuento por cantidad. Para beneficiarse del descuento, deciden comprar juntos, pero pagar de forma proporcional al número de móviles que cada uno se lleva. Si David se llevó 5, Emma 3 y Fran 2, ¿qué tiene que pagar cada uno si el pedido costó 3000€?
El reparto debe hacerse de forma directamente proporcional a la cantidad de móviles que cada uno se quedó:
- David debe pagar
- Emma debe pagar:
- Fran:
Comprobamos que 1500 + 900 + 300 = 3000 € de coste total del pedido.
Porcentajes y proporciones
Conociendo dos valores entre el porcentaje, el total y la parte representada, se puede calcular el tercero de ellos estableciendo una proporción.
Ejemplo 1: Calcular el porcentaje de una cantidad total.
Un ordenador que tiene un precio de 556 € está rebajado un 15 %. ¿Cuántos euros tiene de descuento?
Aplicamos la proporción:
Ejemplo 2: Calcular la cantidad total, dada la cantidad que representa el porcentaje
Quedan 8 entradas sin vender para asistir a una conferencia. Si representan el 16 %, entradas había en total?
Aplicamos la proporción:
En total, había 50 entradas porque el 16% de 50 es 8.
Ejemplo 3: Calcular el porcentaje que representa una cantidad respecto del total
En una clase, el 18 alumnos han obtenido sobresaliente de los 40 que forman el grupo. ¿Qué porcentaje de alumnos ha obtenido un sobresaliente?
Aplicamos la proporción:
Ejemplo 1: disminución porcentual
Calcula el precio final de una camiseta de 35€ que tiene un descuento del 15%
donde, al ser un descuento, el lo calculamos como
Y calculamos el precio final:
Ejemplo 2: incremento o aumento porcentual
El precio del alquiler ha subido un 2% este año. Si pagábamos 560€, ¿cuál será el nuevo precio del alquiler?
donde, al ser un aumento, el índice de variación lo calculamos como
Y calculamos el precio final:
Porcentajes encadenados
Para aplicar sobre una misma cantidad dos o más porcentajes encadenados, se calculan los índices de variación y se aplican sucesivamente.
Ejemplo 1:
Calcula el porcentaje total de subida si en enero el precio sube un 10% y en febrero un 20%. ¿Será una subida del 30%?
Calculamos el índice de variación del primer incremento
Y, después, el del segundo incremento
El índice de variación combinado o total será el producto de los dos:
Esto implica que lo que antes valía 1, ahora vale 1,32. Si lo pasamos a porcentaje, el 100% ahora es el 132% por lo que la subida es 132% – 100% = +32% (el signo + se usa para expresar que es una subida porcentual)
Para que hubiera sido un aumento del 30%, IV total debería haber sido de 1,32
Ejemplo 2:
Calcula el porcentaje total de subida o bajada si en enero el precio sube un 10% y en febrero baja un 20%. ¿Será una bajada del 10% en total?
Calculamos el índice de variación del primer incremento
Y, después, el del segundo decremento
El índice de variación combinado o total será el producto de los dos:
Esto implica que lo que antes valía 1, ahora vale 0,88. Si lo pasamos a porcentaje, el 100% ahora es el 88% por lo que el precio ha experimentado un decremento. La bajada es 100% – 88% = -12% (aquí el signo menos lo usamos para indicar que es una bajada porcentual, no que sea un número negativo).
Ten en cuenta que no se pueden sumar y restar los porcentajes porque no se calculan sobre la misma cantidad. El 21 % no se aplica al precio inicial, sino al rebajado.